f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x^2 + y^2 + z^2 + x * y = 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma função e uma equação para trabalhar:
  • Função:
  • Equação:
Matéria envolvida: Vamos usar álgebra para manipular expressões e encontrar relações entre as variáveis , e .
O que precisamos: Entender como a função se relaciona com a equação fornecida e encontrar possíveis valores ou relações entre , e .

Passo 2

Vamos começar observando a equação:
Sabemos que a função é:
Então, podemos substituir na equação pela função :

Passo 3

Agora, vamos isolar a função :
Isso nos mostra que o valor de depende do produto .

Passo 4

Para entender melhor, vamos pensar no que essa relação significa:
  • Se aumenta, diminui.
  • Se diminui, aumenta.
Então, para encontrar os possíveis valores de , precisamos entender os limites de .

Passo 5

Vamos analisar os valores possíveis de . Sabemos que:
Como , e são sempre positivos ou zero (porque o quadrado de qualquer número é não-negativo), o termo pode ser positivo ou negativo.
Isso significa que pode variar para que a soma total seja igual a 12.

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar casos onde . Isso não resolve completamente o problema, mas ajuda a entender a relação entre e :

Passo 7

Agora, nosso objetivo é encontrar e que satisfaçam essa equação. Podemos reescrever a equação de forma a completar o quadrado:
Não há uma maneira direta de completar o quadrado aqui, então podemos tentar expressar em termos de ou vice-versa.

Passo 8

Vamos resolver a equação para :
Isso é uma equação quadrática em . Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Para que a raiz seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:

Passo 9

Então, pode variar entre -4 e 4. Com isso, podemos calcular usando a fórmula que encontramos:
Isso nos dá os valores possíveis para em termos de .

Passo 10

Finalmente, lembrando que , podemos substituir da equação acima para encontrar em termos de .

Resposta

A função está relacionada à equação pela expressão:
Os valores possíveis de dependem do produto , que varia de acordo com os valores de e que satisfazem a equação dada.

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