Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz31 / 6)=1
Observação: raiz31 / 6 approx 2.3,5 raiz3 / 3 approx 2.9, raiz3 approx 1.7, raiz23 / 6 approx 2.0.
ll ( -1+raiz3,-1+5 raiz33) & d (-1+raiz236,-1+5 raiz33) b (-1-5 raiz33,-1+5 raiz33) & e (-1-raiz3,+infty) c (-1-raiz3,-1+5 raiz33) & f (-1+raiz3,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial:
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz316)=1
O que a gente precisa encontrar é o intervalo de validade da solução dessa equação diferencial. Isso significa descobrir em qual intervalo de a solução é válida e contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais de primeira ordem e intervalos de validade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma:
dydx = f(x, y)
No nosso caso, y(y + 1)(y - 2) = 0 . Para encontrar a solução, precisamos integrar ambos os lados. Mas antes disso, é importante identificar os pontos onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero:
Isso acontece quando , ou . Esses são os pontos críticos onde a solução pode não ser válida.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial. Podemos separar as variáveis:
y(y + 1)(y - 2) , dy = -(x + 1) , dx
Integrando ambos os lados:
integral y(y + 1)(y - 2) , dy = -integral (x + 1) , dx
Vamos calcular as integrais:
À esquerda, expandimos y(y + 1)(y - 2) = y(y^2 - y - 2) = y^3 - y^2 - 2y :
integral (y^3 - y^2 - 2y) , dy = y^44 - y^33 - y^2 + C
Então,
-integral (x + 1) , dx = -(x^22 + x) + C
À direita,
y^44 - y^33 - y^2 = -x^22 - x + C
Igualando as integrais:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante y(-1 + raiz316) = 1 . A condição dada é:
1^44 - 1^33 - 1^2 = -(-1 + raiz316)^22 - (-1 + raiz316) + C
Substituindo 14 - 13 - 1 = -34 e -34 = -(-1 + raiz316)^22 - (-1 + raiz316) + C na equação:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora, resolvemos para :

Passo 5

Depois de encontrar o valor de , teremos a equação geral da solução. Entretanto, o que realmente nos interessa aqui é o intervalo de validade dessa solução.
O intervalo de validade é determinado pelos pontos onde a solução pode deixar de ser contínua ou diferenciável. Esses pontos correspondem aos valores de onde o denominador da equação diferencial é zero, ou seja, , e .
Além disso, analisamos onde a solução passa por esses valores críticos. Com a condição inicial dada , estamos entre e .

Passo 6

Com base nos valores críticos e na condição inicial, determinamos que a solução é válida enquanto está entre e . Portanto, o intervalo de corresponde aos valores de onde permanece nesse intervalo.
Analisando as opções fornecidas e as aproximações dadas:
Observamos que a condição inicial está em , e os limites de onde atinge os valores críticos estão entre e .

Resposta

A alternativa correta que representa o intervalo de validade da solução é:
b) .

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