Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (3/4 + 1/t) y = t e^(-3 t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c (e^(-3 t) / t^4).
d] y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t) + c.
b y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t / 4) / t.
e) y(t) = (-4 t / 9 - 128 / (729 t) - 32 / 81) e^(-3 t) + c e^(-3 t) / t^4.
[] y(t) = (-4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(-3 t)/t^4.
f y(t) = (2 t^2 / 3) e^(-3 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa resolver. O enunciado é:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação numa forma padrão. Multiplicamos todos os termos por 4 pra simplificar:
Agora, ela está na forma:
onde e .

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante ( ) que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo se torna a derivada de :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 6

Agora, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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