(a) Mostre que, individualmente, estes vínculos não são integráveis.
(b) Mostre que tomando os mesmos vínculos em conjunto e realizando algumas manipulações algébricas simples, os mesmos podem ser reduzidos às formas
© Mostre então que o conjunto de equações de vínculos holônomos pode ser escrito
onde
e
são constantes arbitrárias.
(b) Mostre que tomando os mesmos vínculos em conjunto e realizando algumas manipulações algébricas simples, os mesmos podem ser reduzidos às formas
Passo 1
Beleza, temos um sistema de “vínculos” dado por duas 1-formas:
Isso está ligado a formas de Pfaff em mecânica ou geometria diferencial.
O que a gente vai usar daqui pra frente:
O que a gente vai usar daqui pra frente:
- O conceito de forma exata (integrável): uma 1-forma
é exata se . - Como extrair combinações lineares dessas 1-formas pra achar integrais primeiras (funções constantes).
No resto, não vou pular passo: explico a teoria do exato e a manipulação das equações.
Passo 2
(a) Mostrar que
e
isoladamente não são integráveis.
Teoria rápida: uma 1-forma em duas variáveis,
, é exata se
Para
, enxergue
(tratando
como constante) e
.
-
(não aparece em ). -
.
Comoem geral, não é exata ⇒ não é integrável sozinha.
O mesmo vale para: -
, . -
, .
De novo, então também não é integrável isolada.
Passo 3
(b) Agora, juntando as duas formas, a gente consegue duas combinações exatas.
-
Para achar
:
• Dividapor (supondo ) e por (supondo ): • Subtraindo as duas:porque. -
Para achar
:
• Multipliquepor e por , e some: • Note quee .
EntãoLogo
Passo 4
© Integrando as duas formas exatas que achamos:
-
De
vem ou seja -
De
(e como em geral) vem ou seja
Resposta
f₁(x,y,z)=x²+y²+z²−c₁=0
f₂(x,y)=x−c₂y=0
f₂(x,y)=x−c₂y=0