(x^2+y^2) d x+x z d z & =0 (x^2+y^2) d y+y z d z & =0
(a) Mostre que, individualmente, estes vínculos não são integráveis.
(b) Mostre que tomando os mesmos vínculos em conjunto e realizando algumas manipulações algébricas simples, os mesmos podem ser reduzidos às formas
(x^2+y^2) d(x^2+y^2+z^2)=0, d ln xy=0
© Mostre então que o conjunto de equações de vínculos holônomos pode ser escrito
f1=x^2+y^2+z^2-c1=0, f2=x-c2 y=0
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de “vínculos” dado por duas 1-formas:
omega1=(x^2+y^2),dx + x,z,dz=0, omega2=(x^2+y^2),dy + y,z,dz=0
Isso está ligado a formas de Pfaff em mecânica ou geometria diferencial.
O que a gente vai usar daqui pra frente:
  • O conceito de forma exata (integrável): uma 1-forma M(u,v),du+N(u,v),dv é exata se partial M/partial v=partial N/partial u.
  • Como extrair combinações lineares dessas 1-formas pra achar integrais primeiras (funções constantes).
No resto, não vou pular passo: explico a teoria do exato e a manipulação das equações.

Passo 2

(a) Mostrar que omega1 e omega2 isoladamente não são integráveis.
Teoria rápida: uma 1-forma em duas variáveis, M(x,z),dx + N(x,z),dz, é exata se
partial Mpartial z ;=;partial Npartial x
Para omega1, enxergue M(x,y,z)=x^2+y^2 (tratando y como constante) e N(x,y,z)=x,z.
  • partial M/partial z = 0 (não aparece z em M).
  • partial N/partial x = z.
    Como 0neq z em geral, omega1 não é exata ⇒ não é integrável sozinha.
    O mesmo vale para omega2:
  • M=(x^2+y^2), partial M/partial z=0.
  • N=y,z, partial N/partial y = z.
    De novo 0neq z, então omega2 também não é integrável isolada.

Passo 3

(b) Agora, juntando as duas formas, a gente consegue duas combinações exatas.
  1. Para achar dlnxy=0:
    • Divida omega1 por x (supondo xneq0) e omega2 por y (supondo yneq0):
    omega1x=(x^2+y^2)dxx+z,dz=0, omega2y=(x^2+y^2)dyy+z,dz=0
    • Subtraindo as duas:
    (x^2+y^2)l(dxx-dyyr)=0 Longrightarrow dlnxy=0,
    porque dln(x/y)=dx/x-dy/y.
  2. Para achar (x^2+y^2),d(x^2+y^2+z^2)=0:
    • Multiplique omega1 por x e omega2 por y, e some:
    xomega1 + yomega2 =(x^2+y^2)(x,dx+y,dy)+(x^2+y^2),z,dz=0
    • Note que d(x^2+y^2)=2(x,dx+y,dy) e d(z^2)=2z,dz.
    Então
    x,dx+y,dy=tfrac12,d(x^2+y^2), z,dz=tfrac12,d(z^2)
    Logo
    (x^2+y^2)l(tfrac12,d(x^2+y^2)+tfrac12,d(z^2)r)=0 Longrightarrow (x^2+y^2),dl(x^2+y^2+z^2r)=0

Passo 4

© Integrando as duas formas exatas que achamos:
  1. De dln(x/y)=0 vem
    lnxy=c2 Longrightarrow xy=e^c2equiv c2',
    ou seja
    f2(x,y)=x - c2',y=0
  2. De (x^2+y^2),d(x^2+y^2+z^2)=0 (e como x^2+y^2neq0 em geral) vem
    d(x^2+y^2+z^2)=0 Longrightarrow x^2+y^2+z^2=c1,
    ou seja
    f1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 - c1=0

Resposta

f₁(x,y,z)=x²+y²+z²−c₁=0
f₂(x,y)=x−c₂y=0

Exercícios relacionados