B(r)=gr^2 er
(a) Demonstre que a Lagrangiana deste sistema é
L=12 m(dotr^2+r^2 dottheta^2+r^2 sen^2 theta dotvarphi^2)-q gc cos theta dotvarphi
(b) Obtenha as equações de movimento.

Passo 1

Tranquilo, então o enunciado diz que temos um campo magnético tipo monopolo
B( r)=gr^2,hat er
e pede duas coisas:
(a) mostrar que a Lagrangiana do elétron (carga q, massa m) nesse campo é
L=tfrac12,ml(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotvarphi^2r);-;qgc,costheta,dotvarphi,
(b) obter as equações de movimento.
Conteúdo envolvido: mecânica lagrangiana (coordenadas esféricas, potencial vetor, E-L). Vamos precisar de
  1. saber que, em campo magnético, L=T+(q/c), vcdot A;
  2. escolher um potencial vetor A que gere B=nablatimes A;
  3. aplicar as equações de Euler–Lagrange.

Passo 2

Primeiro, o cinético em esféricas é padrão:
T=tfrac12,ml(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotvarphi^2r),
Agora o truque: a Lagrangiana de uma partícula carregada é
L=T+qc, vcdot A,,
onde escolhemos (em gauge que leva ao monopolo)
Ar=0, Atheta=0, Avarphi=-gcosthetarsintheta,
Em esféricas vcdot A = Avarphi,(rsintheta,dotvarphi), então
$$\frac{q}{c},\mathbf v\cdot\mathbf A = \frac{q}{c}\Bigl(-\frac{g\cos\theta}{r\sin\theta}\Bigr),(r\sin\theta,\dot\varphi)
=-\frac{qg}{c},\cos\theta,\dot\varphi,. qc, vcdot A = qcl(-gcosthetarsinthetar),(rsintheta,dotvarphi) =-qgc,costheta,dotvarphi, áL=\tfrac12,m(\dot r2+r2\dot\theta2+r2\sin2\theta,\dot\varphi2)-\frac{qg}{c}\cos\theta,\dot\varphi,. $$

Passo 3

Agora as equações de movimento vêm de Euler–Lagrange:
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Bigr)
-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,. ddtl(partial Lpartialdot qir) -partial Lpartial qi=0, ãáóm\ddot r - m,r(\dot\theta2+\sin2\theta,\dot\varphi^2)=0
\quad\Longrightarrow\quad
\ddot r - r(\dot\theta2+\sin2\theta,\dot\varphi^2)=0,. $$

Passo 4

Para q2=theta:
∂L/∂θ′ = m,r^2dottheta, então d/dt → mddt(r^2dottheta).
∂L/∂θ =
do cinético: m,r^2sinthetacostheta,dotvarphi^2,
do potencial magnético: -qgc(-sintheta)dotvarphi = qgcsintheta,dotvarphi.
Somando, E-L é
$$m\frac{d}{dt}(r^2\dot\theta)
  • \Bigl[m,r2\sin\theta\cos\theta,\dot\varphi2+\frac{qg}{c}\sin\theta,\dot\varphi\Bigr]=0,. $$

Passo 5

Para q3=varphi:
∂L/∂φ′ = m,r^2sin^2theta,dotvarphi ;-;qgccostheta.
Como L não depende de varphi explicitamente, essa quantidade é constante:
ddtl(mr^2sin^2theta,dotvarphi-qgccosthetar)=0,

Resposta

As equações de movimento finais são:
  1. Radial:
    \quad ddot r - r(dottheta^2+sin^2theta,dotvarphi^2)=0.
  2. Polar ( theta):
    \quad mddt(r^2dottheta) = m,r^2sinthetacostheta,dotvarphi^2+qgcsintheta,dotvarphi.
  3. Azimutal ( varphi):
    \quad mr^2sin^2theta,dotvarphi-qgccostheta=const.

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