(a) Demonstre que a Lagrangiana deste sistema é
(b) Obtenha as equações de movimento.
Passo 1
Tranquilo, então o enunciado diz que temos um campo magnético tipo monopolo
e pede duas coisas:
(a) mostrar que a Lagrangiana do elétron (carga
(b) obter as equações de movimento.
Conteúdo envolvido: mecânica lagrangiana (coordenadas esféricas, potencial vetor, E-L). Vamos precisar de
Conteúdo envolvido: mecânica lagrangiana (coordenadas esféricas, potencial vetor, E-L). Vamos precisar de
- saber que, em campo magnético,
; - escolher um potencial vetor
que gere ; - aplicar as equações de Euler–Lagrange.
Passo 2
Primeiro, o cinético em esféricas é padrão:
Agora o truque: a Lagrangiana de uma partícula carregada é
onde escolhemos (em gauge que leva ao monopolo)
Em esféricas
$$\frac{q}{c},\mathbf v\cdot\mathbf A = \frac{q}{c}\Bigl(-\frac{g\cos\theta}{r\sin\theta}\Bigr),(r\sin\theta,\dot\varphi)
=-\frac{qg}{c},\cos\theta,\dot\varphi,.
L=\tfrac12,m(\dot r2+r2\dot\theta2+r2\sin2\theta,\dot\varphi2)-\frac{qg}{c}\cos\theta,\dot\varphi,. $$
Passo 3
Agora as equações de movimento vêm de Euler–Lagrange:
$$\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Bigr)
-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,.
m\ddot r - m,r(\dot\theta2+\sin2\theta,\dot\varphi^2)=0
\quad\Longrightarrow\quad
\ddot r - r(\dot\theta2+\sin2\theta,\dot\varphi^2)=0,. $$
Passo 4
Para
:
∂L/∂θ′ = , então d/dt →
.
∂L/∂θ =
do cinético: ,
do potencial magnético: .
Somando, E-L é
∂L/∂θ′ =
∂L/∂θ =
do cinético:
do potencial magnético:
Somando, E-L é
$$m\frac{d}{dt}(r^2\dot\theta)
- \Bigl[m,r2\sin\theta\cos\theta,\dot\varphi2+\frac{qg}{c}\sin\theta,\dot\varphi\Bigr]=0,. $$
Passo 5
Para
:
∂L/∂φ′ = .
Como não depende de
explicitamente, essa quantidade é constante:
∂L/∂φ′ =
Como
Resposta
As equações de movimento finais são:
- Radial:
\quad. - Polar (
):
\quad. - Azimutal (
):
\quad.