(a) Lembrando que o momentum angular da partícula é conservado, mostre que a Lagrangiana do sistema pode ser escrita como
L=12 m(dotr^2+r^2 dotvarphi^2)-U(r)
(b) Mostre que a equação de movimento se torna então
m ddotr-l^2m r^3+d Ud r=0
sendo l= cte. o módulo do momentum angular.
© Sendo E=T+U a energia mecânica da partícula, mostre que
E=12 m dotr^2+Uef(r), sendo Uef(r)=U(r)+l^22 m r^2
o potencial efetivo do sistema.
(d) Mostre que E= constante e integre ^1 a equação acima para obter
varphi=integral l d rr^2 raiz2 m[E-Uef(r)]
(e) O Problema de Kepler. Considere o caso em que a força central é gravitacional, ou seja, U(r)= -kappa / r, com kappa= constante. Integre a equação de movimento e obtenha a equação da cônica
1r=m kappal^2(1+e cos varphi), onde e=raiz1+2 E l^2m kappa^2
é a excentricidade da cônica.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente estudar o movimento de uma partícula num potencial central . A matéria é Mecânica Analítica: Lagrangiana em coordenadas polares, conservação de momento angular, potencial efetivo, energia e integração do trajeto. Vamos precisar de:
  • Expressar a energia cinética em polares.
  • Usar que não aparece na Lagrangiana (assim é constante).
  • Lagrangeanos e equações de Euler–Lagrange.
  • Definição de energia mecânica e potencial efetivo.
  • Integração para achar .
  • No final, aplicar ao caso gravitacional e mostrar que a órbita é uma cônica.

Passo 2

Queremos escrever
L=T-U,
Em coordenadas polares v^2=dot r^2 + r^2dotvarphi^2, , a velocidade ao quadrado é
T=tfrac12 m(dot r^2+r^2dotvarphi^2) e L=tfrac12 m(dot r^2+r^2dotvarphi^2)-U(r)
então
Pronto, mostramos o item (a).

Passo 3

Como pvarphi=partial Lpartialdotvarphi = m,r^2dotvarphi não aparece em dotvarphi=lm,r^2 , o momento conjugado
ddtl(mdot rr) -l(m rdotvarphi^2 - U'(r)r)=0
é constante, digamos mddot r - m rdotvarphi^2 + dUdr=0 . Logo
mddot r - l^2m,r^3 + dUdr=0,
Agora a equação de Lagrange para :
ou seja
Substituindo
que é o item (b).

Passo 4

A energia mecânica é
E=T+U =tfrac12 mdot r^2 + tfrac12 m r^2dotvarphi^2 + U(r)
De novo uso E=tfrac12 mdot r^2 + U(r) + l^22m r^2 =tfrac12 mdot r^2 + Urm ef(r), e ajeito:
Urm ef(r)=U(r)+l^22m,r^2
onde definimos
É o item ©.

Passo 5

Como dot r = raiz2ml(E-Urm ef(r)r) é constante, podemos isolar dvarphidr = dotvarphidot r = lm,r^2raiz2m(E-Urm ef(r)) :
varphi =integral l,drr^2raiz2ml(E-Urm ef(r)r),
E também já temos . Então
Integrando em :
que é o item (d).

Passo 6

Agora Urm ef(r) =-kappa r + l^22m,r^2 . Então
d^2udvarphi^2+u=mkappal^2
É tradicional trocar a variável para u(varphi) =mkappal^2l[1+ecosvarphir], . A equação de movimento radial vira
e=raiz1+2E,l^2mkappa^2
Solução geral:
1r =mkappal^2l(1+ecosvarphir),
onde a constante surge das condições iniciais e vale
Voltando a , obtemos a cônica
que é exatamente o item (e).

Resposta

(a) 1r=mkappal^2l(1+ecosvarphir), e=raiz1+2E,l^2mkappa^2 .
(b) .
© , com .
(d) .
(e) No caso , a órbita é

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