(a) Lembrando que o momentum angular da partícula é conservado, mostre que a Lagrangiana do sistema pode ser escrita como
(b) Mostre que a equação de movimento se torna então
sendo
cte. o módulo do momentum angular.
© Sendo
a energia mecânica da partícula, mostre que
o potencial efetivo do sistema.
(d) Mostre que
constante e integre
a equação acima para obter
(e)
Problema de Kepler. Considere o caso em que a força central é gravitacional, ou seja,
constante. Integre a equação de movimento e obtenha a equação da cônica
é a excentricidade da cônica.
© Sendo
(d) Mostre que
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente estudar o movimento de uma partícula num potencial central
. A matéria é Mecânica Analítica: Lagrangiana em coordenadas polares, conservação de momento angular, potencial efetivo, energia e integração do trajeto. Vamos precisar de:
- Expressar a energia cinética em polares.
- Usar que
não aparece na Lagrangiana (assim é constante). - Lagrangeanos e equações de Euler–Lagrange.
- Definição de energia mecânica e potencial efetivo.
- Integração para achar
. - No final, aplicar ao caso gravitacional
e mostrar que a órbita é uma cônica.
Passo 2
Queremos escrever
Em coordenadas polares
, a velocidade ao quadrado é
então
Pronto, mostramos o item (a).
Passo 3
Como
não aparece em
, o momento conjugado
é constante, digamos
. Logo
Agora a equação de Lagrange para
:
ou seja
Substituindo
dá
que é o item (b).
Passo 4
A energia mecânica é
De novo uso
e ajeito:
onde definimos
É o item ©.
Passo 5
Como
é constante, podemos isolar
:
E também já temos
. Então
Integrando em
:
que é o item (d).
Passo 6
Agora
. Então
É tradicional trocar a variável para
. A equação de movimento radial vira
Solução geral:
onde a constante
surge das condições iniciais e vale
Voltando a
, obtemos a cônica
que é exatamente o item (e).
Resposta
(a)
.
(b) .
© , com
.
(d) .
(e) No caso , a órbita é
(b)
©
(d)
(e) No caso