[3,0] Oscilações. Considere o movimento harmônico simples realizado por um bloco de massa m que se desloca sobre um plano horizontal sem atrito, ao longo do eixo x, ligado a uma mola de constante elástica, k. A posição do bloco para um tempo qualquer t é dada por x=x(t)=A \cos (\omega t+\varphi), onde A é a amplitude do movimento, \omega=\sqrt{k / m}, denota a frequência angular das oscilações e \varphi é a constante de fase. Nestas condições, calcule:
(a) [1,0] A energia mecânica total E do sistema. Atenção: Expresse seu resultado em termos de k e A.
(b) [1,0] A velocidade v do bloco em função da sua posição x. Expresse seu resultado apenas em termos de \omega, A e x |ou seja, v=v(\omega, A, x) \mid;
(c) [1,0] Os possíveis valores da posição x do bloco quando a sua velocidade v for (i) v=0 e
(ii) v= \pm \omega A.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples (MHS) de um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k, com posição
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Precisamos calcular
(a) a energia mecânica total E em termos de k e A;
(b) a velocidade v em função de x, usando só \omega, A e x;
(c) os valores de x quando (i) v=0 e (ii) v=\pm\omega A.

Passo 2

Para achar a energia total basta notar que em x=\pm A a velocidade é zero e toda energia é potencial elástica:
E = U_{\max} = \frac12\,k\,A^2.

Passo 3

Usando conservação de energia, temos
\frac12 m v^2 + \frac12 k x^2 = E = \frac12 k A^2.
Como \omega^2=k/m, reescrevemos
v^2 = \frac{k}{m}(A^2 - x^2) = \omega^2\bigl(A^2 - x^2\bigr),
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v = \pm\,\omega\,\sqrt{A^2 - x^2}.

Passo 4

Para v=0 impomos
0 = \pm\,\omega\,\sqrt{A^2 - x^2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{A^2 - x^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = A^2 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm A.

Passo 5

Para \,v=\pm\omega A impomos
\pm\omega A = \pm\,\omega\,\sqrt{A^2 - x^2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{A^2 - x^2} = A \quad\Longrightarrow\quad A^2 - x^2 = A^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Resposta

(a) \,E = \tfrac12\,k\,A^2.
(b) \,v = \pm\,\omega\,\sqrt{A^2 - x^2}.
(c)(i) x = \pm A.
(c)(ii) x = 0.

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