1. Exprese S . L em termos de j, l e s.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o operador espinorbital \mathbf{S}\!\cdot\!\mathbf{L} em termos dos números quânticos j, l e s. O assunto aqui é acoplamento de momentos angulares em mecânica quântica, e vamos usar a relação entre \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S} e seus quadrados.

Passo 2

Recordamos que o operador total de momento angular é
\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}
e, ao elevar ao quadrado, obtemos
\mathbf{J}^2 = \mathbf{L}^2 + \mathbf{S}^2 + 2\,\mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S}.

Passo 3

Isolando o produto escalar \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S} na equação acima, temos
2\,\mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S} = \mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S} = \frac{1}{2}\Bigl(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2\Bigr).

Passo 4

Sobre um autestado comum de \mathbf{J}^2, \mathbf{L}^2 e \mathbf{S}^2, os autovalores são
\mathbf{J}^2\to \hbar^2\,j(j+1), \quad \mathbf{L}^2\to \hbar^2\,l(l+1), \quad \mathbf{S}^2\to \hbar^2\,s(s+1).
Substituindo na expressão de \mathbf{L}\!\cdot\!\mathbf{S} obtemos o valor próprio desejado.

Resposta

\mathbf{S}\!\cdot\!\mathbf{L} = \frac{\hbar^2}{2}\Bigl[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\Bigr].

Exercícios relacionados