[3,5] Ondas numa corda. Uma corda de 2 m de comprimento com densidade linear de massa \mu=30 \mathrm{~g} / \mathrm{m} tem suas duas extremidades fixas.
(a) [1,0] Sabendo que, em uma onda estacionária, a distância entre dois nós consecutivos é \lambda / 2, onde \lambda é o comprimento de onda, determine quais são os comprimentos de onda de ressonância nessa corda.
(b) [1,5] Sabendo que 60 Hz e 70 Hz são frequências de ressonância consecutivas dessa corda, determine a menor frequência de ressonância.
(c) [1,0] Qual é a tração nessa corda?

Passo 1

O problema trata de ondas estacionárias em uma corda de comprimento L=2\\ \mathrm m com as extremidades fixas e densidade linear de massa \mu=0,03\\ \mathrm{kg/m}.
(a) pede os comprimentos de onda de ressonância;
(b) usa-se que 60 Hz e 70 Hz são modos consecutivos para achar a menor frequência de ressonância;
(c) relaciona-se a velocidade da onda com a tração T na corda.

Passo 2

Para uma corda com as duas extremidades fixas, os modos de ressonância satisfazem que há um inteiro n de semissinusoides ao longo da corda. Logo o comprimento de onda \lambda_n obedece
L = n\,\frac{\lambda_n}{2}
onde n=1,2,3,\dots.

Passo 3

Da relação anterior isolamos \lambda_n:
\lambda_n = \frac{2L}{n}.
Substituindo L=2\\ \mathrm m,
\lambda_n = \frac{4}{n}\\ \mathrm m,\quad n=1,2,3,\dots

Passo 4

A frequência do n-ésimo modo é f_n = v/\lambda_n, mas também vale
f_n = n\,\frac{v}{2L},
de onde a diferença entre modos consecutivos é constante:
\Delta f = f_{n+1}-f_n = \frac{v}{2L}.
Como \Delta f = 70 - 60 = 10\\ \mathrm{Hz}, segue
\frac{v}{2L} = 10\quad\Longrightarrow\quad v = 2L\cdot 10 = 40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A menor frequência de ressonância é o modo fundamental ( n=1), logo
f_1 = \frac{v}{2L} = 10\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

A tração T na corda relaciona-se com a velocidade e a densidade linear por
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad\Longrightarrow\quad T = \mu\,v^2.
Substituindo \mu=0,03\\ \mathrm{kg/m} e v=40\\ \mathrm{m/s},
T = 0,03 \times 40^2 = 48\\ \mathrm N.

Resposta

(a) \lambda_n = \tfrac{4}{n}\\ \mathrm m, com n=1,2,3,\dots.
(b) f_1 = 10\\ \mathrm{Hz}.
(c) T = 48\\ \mathrm N.

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