Ondas numa corda. Uma corda de 2 m de comprimento com densidade linear de massa
tem suas duas extremidades fixas.
(a)
Sabendo que, em uma onda estacionária, a distância entre dois nós consecutivos é
, onde
é o comprimento de onda, determine quais são os comprimentos de onda de ressonância nessa corda.
(b) [1,5] Sabendo que 60 Hz e 70 Hz são frequências de ressonância consecutivas dessa corda, determine a menor frequência de ressonância.
(c)
Qual é a tração nessa corda?
(a)
(b) [1,5] Sabendo que 60 Hz e 70 Hz são frequências de ressonância consecutivas dessa corda, determine a menor frequência de ressonância.
(c)
Passo 1
O problema trata de ondas estacionárias em uma corda de comprimento
com as extremidades fixas e densidade linear de massa
.
(a) pede os comprimentos de onda de ressonância;
(b) usa-se que 60 Hz e 70 Hz são modos consecutivos para achar a menor frequência de ressonância;
(c) relaciona-se a velocidade da onda com a tração na corda.
(a) pede os comprimentos de onda de ressonância;
(b) usa-se que 60 Hz e 70 Hz são modos consecutivos para achar a menor frequência de ressonância;
(c) relaciona-se a velocidade da onda com a tração
Passo 2
Para uma corda com as duas extremidades fixas, os modos de ressonância satisfazem que há um inteiro
de semissinusoides ao longo da corda. Logo o comprimento de onda
obedece
onde
.
Passo 3
Da relação anterior isolamos
:
Substituindo
,
Passo 4
A frequência do
-ésimo modo é
, mas também vale
de onde a diferença entre modos consecutivos é constante:
Como
, segue
Passo 5
A menor frequência de ressonância é o modo fundamental (
), logo
Passo 6
A tração
na corda relaciona-se com a velocidade e a densidade linear por
Substituindo
e
,
Resposta
(a)
, com
.
(b)
(c)
(b)
(c)