[3.0] Resolva o sistema utilizando decomposição de Cholesky
\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y+2 z=8 \\\\ 2 x+10 y+4 z=26 \\\\ 2 x+4 y+6 z=28\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo:
\begin{cases} 4x+2y+2z=8\\[4pt] 2x+10y+4z=26\\[4pt] 2x+4y+6z=28 \end{cases}
Informações dadas:
  • Os coeficientes das incógnitas formam a matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 10 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 6\end{pmatrix}.
  • O vetor dos termos independentes é
b=\begin{pmatrix}8\\[4pt]26\\[4pt]28\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar \,x,y,z que satisfaçam o sistema.]

Passo 2

Motivação e condição para usar a decomposição de Cholesky (breve explicação do que vamos precisar).
  • A decomposição de Cholesky procura uma matriz triangular inferior L tal que
A = L\,L^{T},
onde L^{T} é a transposta de L.
  • Isso só é possível (com L real e com diagonais positivas) quando A é simétrica e definida positiva. Vamos confirmar essas propriedades para A.
    • Simetria: verificando os elementos, a_{12}=2=a_{21}, a_{13}=2=a_{31}, a_{23}=4=a_{32}. Logo A é simétrica.
    • Definição positiva: um teste padrão é checar os determinantes dos menores principais superiores (os leading principal minors). Calculando:
      • \det(\begin{pmatrix}4\end{pmatrix})=4>0.
      • \det(\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 10\end{pmatrix})=4\cdot10-2\cdot2=40-4=36>0.
      • \det(A)=144>0 (cálculo omitido por espaço, mas pode ser verificado).
    • Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva.
      Portanto podemos aplicar Cholesky.]

Passo 3

Estrutura da decomposição e fórmulas elementares (mini-aula de Cholesky).
  • Para uma matriz 3\times3 simétrica, buscamos
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix}, \qquad L^{T}=\begin{pmatrix} \ell_{11} & \ell_{21} & \ell_{31}\\[4pt] 0 & \ell_{22} & \ell_{32}\\[4pt] 0 & 0 & \ell_{33} \end{pmatrix}.
  • Multiplicando L L^{T} e igualando a A obtém-se as relações (esquematicamente):
    • \ell_{11}^{2}=a_{11}.
    • \ell_{21}\,\ell_{11}=a_{21}, \ell_{31}\,\ell_{11}=a_{31}.
    • \ell_{21}^{2}+\ell_{22}^{2}=a_{22}.
    • \ell_{31}\ell_{21}+\ell_{32}\ell_{22}=a_{32}.
    • \ell_{31}^{2}+\ell_{32}^{2}+\ell_{33}^{2}=a_{33}.
  • Fórmulas práticas (passo a passo):
    • \displaystyle \ell_{11}=\sqrt{a_{11}}.
    • \displaystyle \ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{\ell_{11}} para i=2,3.
    • \displaystyle \ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}.
    • \displaystyle \ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}}.
    • \displaystyle \ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}}.
      Essas fórmulas vêm de igualar elemento a elemento LL^{T}=A e isolando os \ell.]

Passo 4

Cálculo numérico dos elementos de L aplicando as fórmulas.
  • Primeiro elemento:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
  • Elementos da primeira coluna:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1,\qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1.
  • Elemento \ell_{22}:
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}=\sqrt{10-1^{2}}=\sqrt{9}=3.
  • Elemento \ell_{32}:
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}} =\frac{4-1\cdot1}{3}=\frac{3}{3}=1.
  • Elemento \ell_{33}:
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}} =\sqrt{6-1^{2}-1^{2}}=\sqrt{4}=2.
  • Assim a decomposição de Cholesky é
L=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]1 & 3 & 0\\[4pt]1 & 1 & 2\end{pmatrix}, \qquad L^{T}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver L\,y=b\) por substituição direta (forward substitution). Aqui \(y\) é um vetor intermediário tal que \(L^{T}x=y\). Escrevendo o sistema \(L\,y=b\) componente a componente: \[\begin{cases} \ell_{11}y_{1}=b_{1},\\[4pt] \ell_{21}y_{1}+\ell_{22}y_{2}=b_{2},\\[4pt] \ell_{31}y_{1}+\ell_{32}y_{2}+\ell_{33}y_{3}=b_{3}. \end{cases}
Substituindo números:
  • y_{1}=\dfrac{b_{1}}{\ell_{11}}=\dfrac{8}{2}=4.\] - \(y_{2}=\dfrac{b_{2}-\ell_{21}y_{1}}{\ell_{22}}=\dfrac{26-1\cdot4}{3}=\dfrac{22}{3}.
    - y_{3}=\dfrac{b_{3}-\ell_{31}y_{1}-\ell_{32}y_{2}}{\ell_{33}} =\dfrac{28-1\cdot4-1\cdot\frac{22}{3}}{2}.
    Calculemos y_{3} com cuidado:
28-4=24,\qquad 24-\frac{22}{3}=\frac{72-22}{3}=\frac{50}{3},
portanto
y_{3}=\frac{\tfrac{50}{3}}{2}=\frac{50}{6}=\frac{25}{3}.
Logo
y=\begin{pmatrix}4\\[4pt]\dfrac{22}{3}\\[6pt]\dfrac{25}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver L^{T}x=y\) por substituição regressiva (back substitution). O sistema \(L^{T}x=y\) é \[\begin{cases} \ell_{11}x_{1}+\ell_{21}x_{2}+\ell_{31}x_{3}=y_{1},\\[4pt] \ell_{22}x_{2}+\ell_{32}x_{3}=y_{2},\\[4pt] \ell_{33}x_{3}=y_{3}. \end{cases}
Começando por x_{3}\]: \[x_{3}=\frac{y_{3}}{\ell_{33}}=\frac{\tfrac{25}{3}}{2}=\frac{25}{6}.\] Agora \(x_{2}:
x_{2}=\frac{y_{2}-\ell_{32}x_{3}}{\ell_{22}} =\frac{\tfrac{22}{3}-1\cdot\frac{25}{6}}{3}.
Calculemos com denominador comum 6:
\tfrac{22}{3}=\tfrac{44}{6},\qquad \tfrac{44}{6}-\tfrac{25}{6}=\tfrac{19}{6},
então
x_{2}=\frac{\tfrac{19}{6}}{3}=\frac{19}{18}.
Finalmente x_{1}:
x_{1}=\frac{y_{1}-\ell_{21}x_{2}-\ell_{31}x_{3}}{\ell_{11}} =\frac{4-1\cdot\frac{19}{18}-1\cdot\frac{25}{6}}{2}.
Colocando tudo com denominador 18:
4=\frac{72}{18},\qquad \frac{25}{6}=\frac{75}{18},\qquad \frac{19}{18}+\frac{75}{18}=\frac{94}{18},
portanto
4-\frac{94}{18}=\frac{72-94}{18}=\frac{-22}{18}=\frac{-11}{9},
e
x_{1}=\frac{\tfrac{-11}{9}}{2}=\frac{-11}{18}.
Assim o vetor solução é
x=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{18}\\[6pt]\dfrac{19}{18}\\[6pt]\dfrac{25}{6}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Pequena verificação (plugando na primeira equação para conferir):
4x+2y+2z =4\left(-\tfrac{11}{18}\right)+2\left(\tfrac{19}{18}\right)+2\left(\tfrac{25}{6}\right).
Calculemos termo a termo com denominador 18:
4\left(-\tfrac{11}{18}\right)=-\tfrac{44}{18},\quad 2\left(\tfrac{19}{18}\right)=\tfrac{38}{18},\quad 2\left(\tfrac{25}{6}\right)=2\cdot\tfrac{75}{18}=\tfrac{150}{18}.
Somando:
-\tfrac{44}{18}+\tfrac{38}{18}+\tfrac{150}{18}=\tfrac{144}{18}=8,
coincide com o termo independente da primeira equação, indicando consistência do resultado. (As outras equações também conferem; omitidas por brevidade.)

Resposta

x=-\dfrac{11}{18}
y=\dfrac{19}{18}
z=\dfrac{25}{6}

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