Resolver L\,y=b\) por substituição direta (forward substitution). Aqui \(y\) é um vetor intermediário tal que \(L^{T}x=y\).
Escrevendo o sistema \(L\,y=b\) componente a componente:
\[\begin{cases} \ell_{11}y_{1}=b_{1},\\[4pt] \ell_{21}y_{1}+\ell_{22}y_{2}=b_{2},\\[4pt] \ell_{31}y_{1}+\ell_{32}y_{2}+\ell_{33}y_{3}=b_{3}. \end{cases}
Substituindo números:
y_{1}=\dfrac{b_{1}}{\ell_{11}}=\dfrac{8}{2}=4.\]
- \(y_{2}=\dfrac{b_{2}-\ell_{21}y_{1}}{\ell_{22}}=\dfrac{26-1\cdot4}{3}=\dfrac{22}{3}.
- y_{3}=\dfrac{b_{3}-\ell_{31}y_{1}-\ell_{32}y_{2}}{\ell_{33}}
=\dfrac{28-1\cdot4-1\cdot\frac{22}{3}}{2}.
Calculemos y_{3} com cuidado:
Resolver L^{T}x=y\) por substituição regressiva (back substitution).
O sistema \(L^{T}x=y\) é
\[\begin{cases} \ell_{11}x_{1}+\ell_{21}x_{2}+\ell_{31}x_{3}=y_{1},\\[4pt] \ell_{22}x_{2}+\ell_{32}x_{3}=y_{2},\\[4pt] \ell_{33}x_{3}=y_{3}. \end{cases}
Começando por x_{3}\]:
\[x_{3}=\frac{y_{3}}{\ell_{33}}=\frac{\tfrac{25}{3}}{2}=\frac{25}{6}.\]
Agora \(x_{2}:
coincide com o termo independente da primeira equação, indicando consistência do resultado. (As outras equações também conferem; omitidas por brevidade.)