[3.0] Resolva o sistema utilizando decomposição de Cholesky
\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y+2 z=12 \\\\ 2 x+10 y+4 z=30 \\\\ 2 x+4 y+6 z=34\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando decomposição de Cholesky. O sistema fornecido é:
\begin{cases} 4x+2y+2z=12\\[4pt] 2x+10y+4z=30\\[4pt] 2x+4y+6z=34 \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • A matriz dos coeficientes é simétrica e dada por
A=\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 10 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 6\end{pmatrix}.
  • O vetor do lado direito é
b=\begin{pmatrix}12\\[4pt]30\\[4pt]34\end{pmatrix}.
  • A instrução explícita é usar decomposição de Cholesky para resolver A x = b.]

Passo 2

O que é a decomposição de Cholesky e quando podemos usá-la (explicação didática):
  • A decomposição de Cholesky procura escrever a matriz simétrica e definida positiva A na forma
A=L\,L^{T},
onde L é uma matriz triangular inferior com entradas reais e diagonais positivas. Essa fatoração é útil porque, uma vez obtida, resolver A x=b reduz-se a resolver dois sistemas triangulares:
L\,y=b\quad\text{(substituição para frente)}, \qquad L^{T}x=y\quad\text{(substituição para trás)}.çãçãá
  • Para garantir que a decomposição exista, A precisa ser simétrica (é) e definida positiva. Um bom teste prático: os menores principais (determinantes das submatrizes superiores esquerdas) devem ser positivos.
    Vamos verificar os menores principais de A:
\det\!\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}=4>0.
\det\!\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 10\end{pmatrix}=4\cdot10-2\cdot2=40-4=36>0.
Calcular o determinante total de A:
\det(A)=4\cdot\det\!\begin{pmatrix}10 & 4\\[4pt]4 & 6\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 10\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Agora as subdeterminantes:
\det\!\begin{pmatrix}10 & 4\\[4pt]4 & 6\end{pmatrix}=10\cdot6-4\cdot4=60-16=44,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}=2\cdot6-4\cdot2=12-8=4,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 10\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4-10\cdot2=8-20=-12.
Substituindo:
\det(A)=4\cdot44-2\cdot4+2\cdot(-12)=176-8-24=144>0.
Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva e a decomposição de Cholesky existe. Vamos calcular L.]

Passo 3

Construção da matriz L passo a passo (fórmulas e significado):
  • Suponha
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix},
então A=L\,L^{T}. Comparando entradas, temos as fórmulas padrão:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}}, \qquad \ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{\ell_{11}}\\ \text{ para }i>1,
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}, \qquad \ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}},
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}}.
Agora aplicando essas fórmulas com os elementos de A:
  • Primeiro elemento:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
  • Elementos da coluna 1:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1, \qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1.
  • Diagonal 22:
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}=\sqrt{10-1^{2}}=\sqrt{9}=3.
  • Elemento \ell_{32}:
\ell_{32}=\frac{a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}}{\ell_{22}}=\frac{4-1\cdot1}{3}=\frac{3}{3}=1.
  • Diagonal 33:
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}}=\sqrt{6-1^{2}-1^{2}}=\sqrt{4}=2.]

Passo 4

Escrevendo a matriz L obtida:
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Conferindo mentalmente: L\,L^{T} devolve A (pode-se multiplicar se quiser confirmar). Agora resolvemos L\,y=b por substituição para frente.]

Passo 5

Resolver L\,y=b (substituição para frente), detalhando cada equação:
Escrevendo y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}, o sistema L\,y=b
\begin{cases} 2y_{1}=12,\\[4pt] 1\cdot y_{1}+3y_{2}=30,\\[4pt] 1\cdot y_{1}+1\cdot y_{2}+2y_{3}=34. \end{cases}
Resolver em ordem crescente:
  • Da primeira equação:
y_{1}=\frac{12}{2}=6.
  • Substituindo na segunda:
6+3y_{2}=30\quad\Rightarrow\quad 3y_{2}=24\quad\Rightarrow\quad y_{2}=8.
  • Substituindo na terceira:
6+8+2y_{3}=34\quad\Rightarrow\quad 14+2y_{3}=34\quad\Rightarrow\quad 2y_{3}=20\quad\Rightarrow\quad y_{3}=10.
Portanto
y=\begin{pmatrix}6\\[4pt]8\\[4pt]10\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver L^{T}x=y (substituição para trás), mostrando cada passo:
A transposta é
L^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
e escrevendo x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}, o sistema L^{T}x=y dá, por linhas:
\begin{cases} 2x_{1}+1x_{2}+1x_{3}=6,\\[4pt] 3x_{2}+1x_{3}=8,\\[4pt] 2x_{3}=10. \end{cases}
Resolver em ordem decrescente:
  • Da terceira equação:
x_{3}=\frac{10}{2}=5.
  • Substituindo na segunda:
3x_{2}+5=8\quad\Rightarrow\quad 3x_{2}=3\quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.
  • Substituindo na primeira:
2x_{1}+1+5=6\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+6=6\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.
Assim obtemos a solução
x=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (checa final, explicando por que faz sentido):
Substituindo na primeira equação:
4\cdot0+2\cdot1+2\cdot5=0+2+10=12\quad(\checkmark).
Segunda:
2\cdot0+10\cdot1+4\cdot5=0+10+20=30\quad(\checkmark).
Terceira:
2\cdot0+4\cdot1+6\cdot5=0+4+30=34\quad(\checkmark).
Tudo confere, então a solução está correta. Força: já está dominado!

Resposta

\,x=0
\,y=1
\,z=5

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