O vetor de termos independentes (lado direito) é \mathbf{b}=(3,3,5)^T (peguei estes números diretamente do enunciado).
Devemos aplicar fatoração LU (sem menção a pivoteamento), ou seja, escrever a matriz dos coeficientes como A=LU com L triangular inferior com 1’s na diagonal e U triangular superior, e usar isso para resolver o sistema.]
Passo 2
Escrever a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{b}. Ordenando as incógnitas como (x,y,z), temos:
Explicando: cada linha de A vem dos coeficientes das equações correspondentes (por exemplo, primeira equação 2x+0\cdot y+1\cdot z=3).]
Passo 3
Breve “aula” curta sobre fatoração LU (Doolittle) e o que vamos fazer:
A fatoração LU (forma de Doolittle) procura L e U tais que \,A=LU, onde L é triangular inferior com L_{ii}=1 e U é triangular superior.
O procedimento corresponde à eliminação gaussiana registrada: ao zerar elementos abaixo dos pivôs, os multiplicadores usados são os elementos de L.
Depois de obter L e U, resolve-se primeiro \,L\mathbf{y}=\mathbf{b} (substituição direta/forward) e depois \,U\mathbf{x}=\mathbf{y} (substituição regressiva/backward).
Vejamos passo a passo aplicando eliminação e guardando os multiplicadores.
Passo 4
Eliminação para a coluna 1 (pivô a_{11}=2):
Multiplicador para zerar a_{21}: \displaystyle \ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{0}{2}=0.
Multiplicador para zerar a_{31}: \displaystyle \ell_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Atualizamos as linhas 2 e 3 subtraindo esses múltiplos da linha 1:
Pequena verificação mental: L vezes U recupera A (por exemplo a terceira linha de LU é \tfrac{1}{2} vezes a primeira linha de U mais \tfrac{1}{2} vezes a segunda linha de U mais 1 vez a terceira linha de U, o que dá (1,1,3) como em A).]
Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) por substituição regressiva (backward). Aqui \(\mathbf{x}=(x,y,z)^T\) (as incógnitas originais, note a sobrecarga do símbolo \(y\); neste passo \(\mathbf{x}\) contém \(x\), \(y\), \(z\) do problema). As equações de \(U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) são
\[\begin{cases} 2x + 0\cdot y + 1\cdot z = y_1 = 3,\\[4pt] 0\cdot x + 2y + 1\cdot z = y_2 = 3,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 2z = y_3 = 2. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
Da terceira equação: \;2z=2\;\Rightarrow\; z=1.\]
- Da segunda equação: \(\;2y + z =3\;\Rightarrow\; 2y +1 =3\;\Rightarrow\; 2y=2\;\Rightarrow\; y=1.
- Da primeira equação: \;2x + z =3\;\Rightarrow\; 2x +1 =3\;\Rightarrow\; 2x=2\;\Rightarrow\; x=1.]
Passo 9
Resultado do sistema: (x,y,z)=(1,1,1).
Podemos fazer uma checagem rápida substituindo nas equações originais: primeira: 2\cdot1+1=3 OK; segunda: 2\cdot1+1=3 OK; terceira: 1+1+3\cdot1=5 OK. Tudo consistente.