[3.0] Usando o fatoração LU, resolva o seguinte sistema linear :
\left\{\begin{array}{r} 2 x+z=3 \\\\ 2 y+z=3 \\\ x+y+3 z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando fatoração LU:
\left\{\begin{array}{r} 2x+z=3\\[4pt] 2y+z=3\\[4pt] x+y+3z=5 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • O vetor de termos independentes (lado direito) é \mathbf{b}=(3,3,5)^T (peguei estes números diretamente do enunciado).
  • Devemos aplicar fatoração LU (sem menção a pivoteamento), ou seja, escrever a matriz dos coeficientes como A=LU com L triangular inferior com 1’s na diagonal e U triangular superior, e usar isso para resolver o sistema.]

Passo 2

Escrever a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{b}. Ordenando as incógnitas como (x,y,z), temos:
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Explicando: cada linha de A vem dos coeficientes das equações correspondentes (por exemplo, primeira equação 2x+0\cdot y+1\cdot z=3).]

Passo 3

Breve “aula” curta sobre fatoração LU (Doolittle) e o que vamos fazer:
  • A fatoração LU (forma de Doolittle) procura L e U tais que \,A=LU, onde L é triangular inferior com L_{ii}=1 e U é triangular superior.
  • O procedimento corresponde à eliminação gaussiana registrada: ao zerar elementos abaixo dos pivôs, os multiplicadores usados são os elementos de L.
  • Depois de obter L e U, resolve-se primeiro \,L\mathbf{y}=\mathbf{b} (substituição direta/forward) e depois \,U\mathbf{x}=\mathbf{y} (substituição regressiva/backward).
  • Vejamos passo a passo aplicando eliminação e guardando os multiplicadores.

Passo 4

Eliminação para a coluna 1 (pivô a_{11}=2):
  • Multiplicador para zerar a_{21}: \displaystyle \ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{0}{2}=0.
  • Multiplicador para zerar a_{31}: \displaystyle \ell_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
    Atualizamos as linhas 2 e 3 subtraindo esses múltiplos da linha 1:
Linha 2 permanece (pois \ell_{21}=0):
\text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - 0\cdot \text{linha}_1 \quad\Rightarrow\quad (0,\;2,\;1).
Linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \tfrac{1}{2}\cdot \text{linha}_1
Calculando componente a componente:
(1,\,1,\,3)-\tfrac{1}{2}(2,\,0,\,1)=(1-1,\;1-0,\;3-\tfrac{1}{2})=(0,\;1,\;\tfrac{5}{2}).
Após esse passo, a matriz atual (forma de U em construção) é
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{2} \end{pmatrix},
e já registramos \ell_{21}=0,\\ \ell_{31}=\tfrac{1}{2}.]

Passo 5

Eliminação para a coluna 2 (pivô na posição (2,2) é 2):
  • Multiplicador para zerar a posição (3,2) é
\ell_{32}=\frac{\text{(3,2) atual}}{\text{pivô }(2,2)}=\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.ô
Atualizamos a linha 3:
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \tfrac{1}{2}\cdot \text{linha}_2.
Calculando:
(0,\,1,\,\tfrac{5}{2}) - \tfrac{1}{2}(0,\,2,\,1) = (0,\;1-\!1,\;\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2})=(0,\,0,\,2).
Agora a matriz U completa (triangular superior) é
U=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
e os multiplicadores armazenados formam L (com 1’s na diagonal): \ell_{21}=0,\\ \ell_{31}=\tfrac{1}{2},\\ \ell_{32}=\tfrac{1}{2}.]

Passo 6

Escrever explicitamente L e U:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Pequena verificação mental: L vezes U recupera A (por exemplo a terceira linha de LU é \tfrac{1}{2} vezes a primeira linha de U mais \tfrac{1}{2} vezes a segunda linha de U mais 1 vez a terceira linha de U, o que dá (1,1,3) como em A).]

Passo 7

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b}\) por substituição direta (forward). Escrevendo \(\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)^T\): As equações são \[\begin{cases} 1\cdot y_1 = 3,\\[4pt] 0\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = 3,\\[4pt] \tfrac{1}{2}y_1 + \tfrac{1}{2}y_2 + 1\cdot y_3 = 5. \end{cases}
Calculando passo a passo:
y_1=3, \qquad y_2=3,
e
y_3 = 5 - \tfrac{1}{2}y_1 - \tfrac{1}{2}y_2 = 5 - \tfrac{1}{2}\cdot 3 - \tfrac{1}{2}\cdot 3 = 5 - 3 = 2.
Logo (\mathbf{y}=(3,,3,,2)^T].]

Passo 8

Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) por substituição regressiva (backward). Aqui \(\mathbf{x}=(x,y,z)^T\) (as incógnitas originais, note a sobrecarga do símbolo \(y\); neste passo \(\mathbf{x}\) contém \(x\), \(y\), \(z\) do problema). As equações de \(U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) são \[\begin{cases} 2x + 0\cdot y + 1\cdot z = y_1 = 3,\\[4pt] 0\cdot x + 2y + 1\cdot z = y_2 = 3,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 2z = y_3 = 2. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
  • Da terceira equação: \;2z=2\;\Rightarrow\; z=1.\] - Da segunda equação: \(\;2y + z =3\;\Rightarrow\; 2y +1 =3\;\Rightarrow\; 2y=2\;\Rightarrow\; y=1.
    - Da primeira equação: \;2x + z =3\;\Rightarrow\; 2x +1 =3\;\Rightarrow\; 2x=2\;\Rightarrow\; x=1.]

Passo 9

Resultado do sistema: (x,y,z)=(1,1,1).
Podemos fazer uma checagem rápida substituindo nas equações originais: primeira: 2\cdot1+1=3 OK; segunda: 2\cdot1+1=3 OK; terceira: 1+1+3\cdot1=5 OK. Tudo consistente.

Resposta

x=1
y=1
z=1

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