[3, Ex. 2554, 2572, 3079, 2558, 2567] Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sin \left(y^{2}\right) \sin \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede \lim_{(x,y)\to(0,0)}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
O conteúdo usado será limites em duas variáveis e o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Observamos que \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) é limitado por -1 e 1, e que para todo \theta vale \lvert\sin\theta\rvert\le\lvert\theta\rvert. Portanto, para todo (x,y) com x\neq0,
\left|\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\right| \le\bigl|\sin\bigl(y^{2}\bigr)\bigr|\;\cdot\;1 \le\bigl|y^{2}\bigr|.

Passo 3

Como \bigl|y^{2}\bigr|=y^{2} e y^{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pela desigualdade acima e pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=0.

Resposta

0

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