Questão 1. Determine se a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-x y-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
é contínua na origem.
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}-x y - y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é verificar a continuidade de uma função de duas variáveis usando o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).]

Passo 2

Para provar que f é contínua em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Ou seja, ao levarmos (x,y) para a origem, o valor de f(x,y) deve tender a zero.

Passo 3

Uma estratégia conveniente é usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}.
Então, para (x,y)\neq(0,0),
x^3 - x y - y^3 = r^3\bigl(\cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta\bigr),
e
x^2 + y^2 = r^2.
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f(x,y) = \frac{r^3\bigl(\cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta\bigr)}{r^2} = r\;\bigl(\cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta\bigr).

Passo 4

Observe que o fator angular
\cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta
é uma função limitada de \theta, digamos em valor absoluto por alguma constante M. Assim
\bigl|f(x,y)\bigr| = r\;\bigl|\cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta\bigr| \le r\,M.
Como r=\sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \bigl|f(x,y)\bigr|\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Resposta

A função f é contínua na origem, pois \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).

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