f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}-x y - y^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua em (0,0). O conteúdo aqui é verificar a continuidade de uma função de duas variáveis usando o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).]
Passo 2
Para provar que f é contínua em (0,0) precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Ou seja, ao levarmos (x,y) para a origem, o valor de f(x,y) deve tender a zero.
Passo 3
Uma estratégia conveniente é usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}.
Então, para (x,y)\neq(0,0),
x^3 - x y - y^3 = r^3\bigl(\cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta\bigr),
Observe que o fator angular \cos^3\theta - \cos\theta\,\sin\theta - \sin^3\theta
é uma função limitada de \theta, digamos em valor absoluto por alguma constante M. Assim