Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas:
A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 3 & -4 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
e pede a forma escada reduzida por linhas (RREF). Para isso, usaremos operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de linha por escalar e adição de múltiplos de uma linha a outra, de modo a obter pivôs iguais a 1 e zerar as outras entradas dessas colunas.

Passo 2

Primeiro, colocamos um pivô igual a 1 na primeira coluna. Como A_{21}=1, trocamos as linhas 1 e 2:
R_1\leftrightarrow R_2.
Em seguida zeramos as entradas abaixo do pivô usando R_3\leftarrow R_3-3R_1 e R_4\leftarrow R_4-2R_1. O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & -7 & -7\\\\ 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos o segundo pivô em (2,2). Primeiro escalonamos R_2 para que o pivô valha 1:
R_2\leftarrow \tfrac12 R_2.
Depois zeramos as outras entradas da coluna 2 por
R_1\leftarrow R_1-R_2,\quad R_3\leftarrow R_3+7R_2,\quad R_4\leftarrow R_4+5R_2.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac32\\\\ 0 & 1 & \tfrac32\\\\ 0 & 0 & \tfrac72\\\\ 0 & 0 & \tfrac52 \end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, fazemos o pivô na terceira coluna. Escalonamos R_3 para tornar o pivô igual a 1:
R_3\leftarrow \tfrac{2}{7}R_3,
e então zeramos as entradas acima e abaixo por
R_1\leftarrow R_1-\tfrac32R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-\tfrac32R_3,\quad R_4\leftarrow R_4-\tfrac52R_3.
O resultado final é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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