Dados os espaços vetorias V1, V2 considere o conjunto V=V1 times V2 (produto cartesiano de V1 por V2 ), cujos elementos sāo os pares ordenadosv =(v1, v2), com v1 in V1 e v2 in V2. Defina operações que tornem V um espaço vetorial. Verifique a validade de cada um dos axiomas.

Passo 1

O enunciado dá dois espaços vetoriais V1 e V2 e pede para tornar
V = V1 times V2
num espaço vetorial, ou seja, definir soma de vetores e multiplicação por escalar em V e verificar todos os axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Definimos as operações em V componente a componente:
(v1,v2) + (w1,w2) = l(v1+w1,,v2+w2r),
alphacdot (v1,v2) = l(alpha v1,,alpha v2r),
onde v1,w1in V1, v2,w2in V2 e alpha é escalar.

Passo 3

Verificamos que (V,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: como V1,V2 são fechados em suas somas, (v1+w1,v2+w2)in V.
  2. Associatividade: l((u1,u2)+(v1,v2)r)+(w1,w2) = l((u1+v1)+w1,,(u2+v2)+w2r), igual a (u1,u2)+l((v1,v2)+(w1,w2)r) por associatividade em V1 e V2.
  3. Comutatividade: (v1,v2)+(w1,w2) = (v1+w1,v2+w2) = (w1+v1,w2+v2) = (w1,w2)+(v1,v2)
  4. Elemento neutro: (0V1,0V2) é neutro, pois
    (v1,v2)+(0V1,0V2)=(v1,v2).
  5. Inverso: o inverso de (v1,v2) é (-v1,-v2), pois
    (v1,v2)+(-v1,-v2)=(0V1,0V2).

Passo 4

Verificamos axiomas envolvendo soma de vetores e escalar:
  1. Fechamento em multiplicação por escalar: alpha v1in V1 e alpha v2in V2, logo alphacdot(v1,v2)in V.
  2. Distributividade do escalar sobre soma em V: alphal((v1,v2)+(w1,w2)r) = alpha(v1+w1,v2+w2) = (alpha(v1+w1),alpha(v2+w2)) = (alpha v1+alpha w1,,alpha v2+alpha w2) = alpha(v1,v2) + alpha(w1,w2)
  3. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (alpha+beta)cdot(v1,v2) = ((alpha+beta)v1,(alpha+beta)v2) = (alpha v1+beta v1,,alpha v2+beta v2) = alpha(v1,v2) + beta(v1,v2)

Passo 5

Verificamos os últimos dois axiomas:
  1. Associatividade da multiplicação de escalares: alphal(betacdot(v1,v2)r) = alpha(beta v1,beta v2) = (alphabeta,v1,alphabeta,v2) = (alphabeta)cdot(v1,v2)
  2. Elemento neutro escalar: 1cdot(v1,v2) = (1cdot v1,,1cdot v2) = (v1,v2)

Resposta

Definindo
(v1,v2)+(w1,w2)=(v1+w1,v2+w2), alphacdot(v1,v2)=(alpha v1,alpha v2),
todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, logo V1times V2 é um espaço vetorial.

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