Dados os espaços vetorias
considere o conjunto
(produto cartesiano de
por
), cujos elementos sāo os pares ordenadosv
, com
e
. Defina operações que tornem
um espaço vetorial. Verifique a validade de cada um dos axiomas.
Passo 1
O enunciado dá dois espaços vetoriais
e
e pede para tornar
num espaço vetorial, ou seja, definir soma de vetores e multiplicação por escalar em
e verificar todos os axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Definimos as operações em
componente a componente:
onde
,
e
é escalar.
Passo 3
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: como
são fechados em suas somas, . - Associatividade:
igual a por associatividade em e . - Comutatividade:
- Elemento neutro:
é neutro, pois
. - Inverso: o inverso de
é , pois
.
Passo 4
Verificamos axiomas envolvendo soma de vetores e escalar:
- Fechamento em multiplicação por escalar:
e , logo . - Distributividade do escalar sobre soma em
: - Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
Passo 5
Verificamos os últimos dois axiomas:
- Associatividade da multiplicação de escalares:
- Elemento neutro escalar:
Resposta
Definindo
todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, logo
é um espaço vetorial.