[3,0 pontos] Considere dois sistemas UTT representados pelas funções de transferência H_{1}(s) e H_{2}(s) abaixo. O sistema representado por H_{1}(s) é estãvel. Pede-se: (a) determine os polos, os zeros e a regiāo de convergència de H_{1} (s); (b) discorra sobre a causalidade e estabilidade do sistema representado por \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~s}); (c) determine a equação diferencial que descreve o sistema representado por H_{1}(s); (d) determine a resposta ao impulso do sistema representado por \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~s}); (e) encontre a saida y(t) do sistema representado por H_{3}(s)=H_{1}(s) H_{2}(s) para a entrada x(t)=u(t). Apresente todos os passos de resolucão e justifique todas as respostas.
H_{1}(s)=\frac{s^{2}+s}{s^{2}-2 s-8}
H_{2}(s)=\frac{e^{s}(s-4)}{s^{2}+3 s+2}, \operatorname{Re}\{s\}>-1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Dados: H_{1}(s)=\frac{s^{2}+s}{s^{2}-2s-8}, \qquad H_{2}(s)=\frac{e^{s}(s-4)}{s^{2}+3s+2},\\ \operatorname{Re}\{s\}>-1.Além disso o enunciado afirma que o sistema representado por H_{1}(s) é estável.
  • Perguntas:
    (a) Determine os polos, os zeros e a região de convergência (ROC) de H_{1}(s).
    (b) Discuta causalidade e estabilidade do sistema representado por H_{2}(s).
    (c) Determine a equação diferencial que descreve o sistema representado por H_{1}(s).
    (d) Determine a resposta ao impulso do sistema representado por H_{2}(s).
    (e) Encontre a saída y(t) do sistema representado por H_{3}(s)=H_{1}(s)H_{2}(s) para a entrada x(t)=u(t).

Passo 2

(a) Encontrar polos e zeros de H_{1}(s) e deduzir a ROC a partir da informação de estabilidade.
  • Primeiro, fatoro numerador e denominador de H_{1}(s). Para o numerador: s^{2}+s = s(s+1).Para o denominador: s^{2}-2s-8 = (s-4)(s+2),pois -4\cdot2=-8 e -4+2=-2.
  • Portanto os zeros são raízes do numerador e os polos são raízes do denominador: \text{zeros: } s=0,\\ s=-1.
\text{polos: } s=4,\\ s=-2.
Expliquei: zeros são valores de s que anulam o numerador; polos são valores que anulam o denominador (singularidades da função de transferência).
  • Região de convergência (ROC):
    Para uma função raciona l com polos em s=-2 e s=4 as possíveis ROC (no caso contínuo) são: \operatorname{Re}\{s\}>\!4 (direita do pólo mais à direita), \operatorname{Re}\{s\}<\!-2 (esquerda do pólo mais à esquerda) ou a faixa -2<\operatorname{Re}\{s\}<4 (entre polos). O enunciado diz que o sistema é estável. Estabilidade BIBO no domínio de Laplace exige que a ROC inclua o eixo imaginário \operatorname{Re}\{s\}=0. O único dos três casos acima que contém o eixo imaginário é a faixa entre polos: -2 < \operatorname{Re}\{s\} < 4.Logo esta é a ROC de H_{1}(s).

Passo 3

(b) Analisar causalidade e estabilidade de H_{2}(s). Vou primeiro identificar polos/zeros e depois interpretar o fator e^{s}.
  • Polos e zeros de H_{2}(s):
    Denominador: s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2),logo polos em s=-1 e s=-2.
    Numerador tem zero em s=4.
  • Interpretação do fator e^{s}:
    Na transformada de Laplace, a propriedade de deslocamento no tempo diz que \mathcal{L}\{f(t-t_0)u(t-t_0)\}(s)=e^{-s t_0}F(s).Assim, um fator e^{+s} pode ser visto como e^{-s(-1)}, isto é um deslocamento com t_0=-1: multiplicar por e^{s} corresponde a avançar o sinal em 1 unidade (deslocamento para a esquerda no tempo). Em termos de resposta ao impulso, se G(s) é a parte racional sem o fator exponencial, e g(t) é sua resposta ao impulso causal, então H_{2}(s)=e^{s}G(s)\quad\Longrightarrow\quad h_{2}(t)=g(t+1)\,u(t+1).Esse deslocamento para a esquerda implica, em geral, não causalidade (apoio de h_{2}(t) começa em t=-1, antes de t=0).
  • Usando a ROC dada \operatorname{Re}\{s\}>-1:
    A ROC \operatorname{Re}\{s\}>-1 é a região à direita do pólo mais à direita (pólo em -1), condição típica para uma função cujo núcleo causal (sem o fator exponencial) seria causal. Essa ROC inclui o eixo imaginário, então a parte racional G(s) (sem o e^{s}) corresponde a um sistema causal e estável. Entretanto o fator e^{s} diz que o impulso foi avançado em 1 s, tornando o sistema final não causal.
  • Conclusões:
    • Causalidade: H_{2}(s) é não causal (porque tem fator e^{s} → avanço de 1s → h_{2}(t) tem apoio que começa em t=-1).
    • Estabilidade: a parte racional G(s) tem ROC \operatorname{Re}\{s\}>-1 que inclui o eixo imaginário, logo G é BIBO estável; o deslocamento no tempo não altera a integrabilidade absoluta do impulso, portanto h_{2}(t) continua sendo absolutamente integrável (apenas deslocada) — isto é, H_{2} é estável embora não casual.

Passo 4

(c) Determinar a equação diferencial associada a H_{1}(s).
  • Relação entre transformada e derivadas:
    Para uma transformada unilateral/bilateral sem condições iniciais explicitadas, a correspondência é \mathcal{L}\{\tfrac{d^{n}y}{dt^{n}}\}(s)=s^{n}Y(s)\quad(\text{assumindo condições iniciais nulas quando se usa a TF}).çõComo H_{1}(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}, multiplico ambos os lados para obter relação polinomial em s: (s^{2}-2s-8)Y(s)=(s^{2}+s)X(s).
  • Voltando ao domínio do tempo (substituindo s^{2}Y(s)\mapsto \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}, sY(s)\mapsto \dfrac{dy}{dt}, etc.): \frac{d^{2}y}{dt^{2}} - 2\frac{dy}{dt} -8y(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{dx}{dt}.Essa é a equação diferencial de tempo contínuo com coeficientes constantes que relaciona entrada x(t) e saída y(t). Expliquei: cada potência de s corresponde à derivada de ordem correspondente (com sinais conforme mostrado) sob a suposição de condições iniciais nulas inerentes ao uso da função de transferência.

Passo 5

(d) Determinar a resposta ao impulso h_{2}(t) de H_{2}(s).
  • Primeiro separo a parte racional G(s)=\dfrac{s-4}{(s+1)(s+2)} (isto é H_{2}(s)/e^{s}) e faço frações parciais:
    Quero \dfrac{s-4}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}.
    Multiplicando em comum denominador: s-4 = A(s+2)+B(s+1) = (A+B)s + (2A+B).Igualando coeficientes: A+B=1,\qquad 2A+B=-4.Subtraindo a primeira da segunda: A=-5. Então B=1-A=6.
  • Assim G(s) = -\frac{5}{s+1} + \frac{6}{s+2}.Inverso de Laplace (parte racional causal) dá g(t) = -5e^{-t}u(t) + 6e^{-2t}u(t).
  • Agora aplico o deslocamento devido a e^{s}: como expliquei, multiplicar por e^{s} corresponde a avançar em uma unidade de tempo (deslocar à esquerda). Logo h_{2}(t)=g(t+1)\,u(t+1).Substituindo g: h_{2}(t)=\big(-5e^{-(t+1)} + 6e^{-2(t+1)}\big)\,u(t+1).Alternativamente pode-se escrever explicitamente: h_{2}(t) = -5e^{-(t+1)}u(t+1) + 6e^{-2(t+1)}u(t+1).

Passo 6

(e) Encontrar a saída y(t) para H_{3}(s)=H_{1}(s)H_{2}(s) com entrada x(t)=u(t).
  • Primeiro simplifico H_{3}(s). Escrevo explicitamente cada fator: H_{1}(s)=\frac{s(s+1)}{(s-4)(s+2)},\qquad H_{2}(s)=e^{s}\frac{(s-4)}{(s+1)(s+2)}.Multiplicando: H_{3}(s)=H_{1}(s)H_{2}(s)=e^{s}\frac{s(s+1)(s-4)}{(s-4)(s+2)(s+1)(s+2)}.Observando: os fatores (s-4) e (s+1) cancelam entre numerador e denominador, portanto H_{3}(s)=e^{s}\frac{s}{(s+2)^{2}}.Nota didática: o cancelamento entre H1 e H2 é um cancelamento de pólo/zero no sistema em cascata; isso reduz a complexidade do sistema resultante.
  • A transformada da saída para entrada x(t)=u(t) (cuja transformada é X(s)=1/s) é Y(s)=H_{3}(s)X(s)=e^{s}\frac{s}{(s+2)^{2}}\cdot\frac{1}{s}=e^{s}\frac{1}{(s+2)^{2}}.Assim a parte sem o exponencial é \dfrac{1}{(s+2)^{2}}. Conheço a transformada inversa padrão: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t}u(t).Portanto a função-tempo associada à parte sem deslocamento é g(t)=t e^{-2t}u(t).
  • Aplicando o deslocamento devido ao fator e^{s} (mesma lógica do item (d)): multiplicar por e^{s}=e^{-s(-1)} desloca para a esquerda em 1 unidade. Logo y(t)=g(t+1)u(t+1)=(t+1)e^{-2(t+1)}u(t+1).Essa é a saída do sistema para a entrada degrau u(t). Interpretação: a resposta ao degrau começa em t=-1 (não causal, por causa do avanço no segundo sistema), e para t\ge -1 tem a forma indicada.

Resposta

(a) \text{polos: }s=4,\\ s=-2;\quad \text{zeros: }s=0,\\ s=-1;\quad \text{ROC: }-2<\operatorname{Re}\{s\}<4.
(b) \text{polos: }s=-1,\\ s=-2;\\ \text{zero: }s=4;\quad H_{2}(s)\text{ é não causal (devido a }e^{s}\text{) e estável.}éãá
(c) \displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2\frac{dy}{dt}-8y(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{dx}{dt}.
(d) \displaystyle h_{2}(t)=\big(-5e^{-(t+1)}+6e^{-2(t+1)}\big)\,u(t+1).
(e) \displaystyle y(t)=(t+1)e^{-2(t+1)}\,u(t+1).

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