[3,0 pontos] Considere dois sistemas UTT representados pelas funções de transferência
e
abaixo. O sistema representado por
é estãvel. Pede-se: (a) determine os polos, os zeros e a regiāo de convergència de
(s); (b) discorra sobre a causalidade e estabilidade do sistema representado por
; (c) determine a equação diferencial que descreve o sistema representado por
; (d) determine a resposta ao impulso do sistema representado por
; (e) encontre a saida
do sistema representado por
para a entrada
. Apresente todos os passos de resolucão e justifique todas as respostas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Dados:
Além disso o enunciado afirma que o sistema representado por é estável. - Perguntas:
(a) Determine os polos, os zeros e a região de convergência (ROC) de.
(b) Discuta causalidade e estabilidade do sistema representado por.
(c) Determine a equação diferencial que descreve o sistema representado por.
(d) Determine a resposta ao impulso do sistema representado por.
(e) Encontre a saídado sistema representado por para a entrada .
Passo 2
(a) Encontrar polos e zeros de
e deduzir a ROC a partir da informação de estabilidade.
- Primeiro, fatoro numerador e denominador de
. Para o numerador: Para o denominador: pois e . - Portanto os zeros são raízes do numerador e os polos são raízes do denominador:
Expliquei: zeros são valores de
que anulam o numerador; polos são valores que anulam o denominador (singularidades da função de transferência).
- Região de convergência (ROC):
Para uma função raciona l com polos eme as possíveis ROC (no caso contínuo) são: (direita do pólo mais à direita), (esquerda do pólo mais à esquerda) ou a faixa (entre polos). O enunciado diz que o sistema é estável. Estabilidade BIBO no domínio de Laplace exige que a ROC inclua o eixo imaginário . O único dos três casos acima que contém o eixo imaginário é a faixa entre polos: Logo esta é a ROC de .
Passo 3
(b) Analisar causalidade e estabilidade de
. Vou primeiro identificar polos/zeros e depois interpretar o fator
.
- Polos e zeros de
:
Denominador:logo polos em e .
Numerador tem zero em. - Interpretação do fator
:
Na transformada de Laplace, a propriedade de deslocamento no tempo diz queAssim, um fator pode ser visto como , isto é um deslocamento com : multiplicar por corresponde a avançar o sinal em 1 unidade (deslocamento para a esquerda no tempo). Em termos de resposta ao impulso, se é a parte racional sem o fator exponencial, e é sua resposta ao impulso causal, então Esse deslocamento para a esquerda implica, em geral, não causalidade (apoio de começa em , antes de ). - Usando a ROC dada
:
A ROCé a região à direita do pólo mais à direita (pólo em ), condição típica para uma função cujo núcleo causal (sem o fator exponencial) seria causal. Essa ROC inclui o eixo imaginário, então a parte racional (sem o ) corresponde a um sistema causal e estável. Entretanto o fator diz que o impulso foi avançado em 1 s, tornando o sistema final não causal. - Conclusões:
- Causalidade:
é não causal (porque tem fator → avanço de 1s → tem apoio que começa em ). - Estabilidade: a parte racional
tem ROC que inclui o eixo imaginário, logo é BIBO estável; o deslocamento no tempo não altera a integrabilidade absoluta do impulso, portanto continua sendo absolutamente integrável (apenas deslocada) — isto é, é estável embora não casual.
- Causalidade:
Passo 4
(c) Determinar a equação diferencial associada a
.
- Relação entre transformada e derivadas:
Para uma transformada unilateral/bilateral sem condições iniciais explicitadas, a correspondência éComo , multiplico ambos os lados para obter relação polinomial em : - Voltando ao domínio do tempo (substituindo
, , etc.): Essa é a equação diferencial de tempo contínuo com coeficientes constantes que relaciona entrada e saída . Expliquei: cada potência de corresponde à derivada de ordem correspondente (com sinais conforme mostrado) sob a suposição de condições iniciais nulas inerentes ao uso da função de transferência.
Passo 5
(d) Determinar a resposta ao impulso
de
.
- Primeiro separo a parte racional
(isto é ) e faço frações parciais:
Quero
Multiplicando em comum denominador:Igualando coeficientes: Subtraindo a primeira da segunda: . Então . - Assim
Inverso de Laplace (parte racional causal) dá - Agora aplico o deslocamento devido a
: como expliquei, multiplicar por corresponde a avançar em uma unidade de tempo (deslocar à esquerda). Logo Substituindo : Alternativamente pode-se escrever explicitamente:
Passo 6
(e) Encontrar a saída
para
com entrada
.
- Primeiro simplifico
. Escrevo explicitamente cada fator: Multiplicando: Observando: os fatores e cancelam entre numerador e denominador, portanto Nota didática: o cancelamento entre H1 e H2 é um cancelamento de pólo/zero no sistema em cascata; isso reduz a complexidade do sistema resultante. - A transformada da saída para entrada
(cuja transformada é ) é Assim a parte sem o exponencial é . Conheço a transformada inversa padrão: Portanto a função-tempo associada à parte sem deslocamento é . - Aplicando o deslocamento devido ao fator
(mesma lógica do item (d)): multiplicar por desloca para a esquerda em unidade. Logo Essa é a saída do sistema para a entrada degrau . Interpretação: a resposta ao degrau começa em (não causal, por causa do avanço no segundo sistema), e para tem a forma indicada.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)