Um sistema produz a saida
para a entrada
. Para a entrada
, a saida è
saida
é gerada quando a entrada é
. Disserte sobre a possibilidade de o sistema ser:
(c) causal;
(c) causal;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou reescrevê-las exatamente como foram fornecidas, em notação matemática):\n
- Entrada
produz saída \n - Entrada
produz saída \n - Entrada
produz saída, conforme enunciado, \n\n
A pergunta que vamos responder: o sistema pode ser causal? (ou seja, existe alguma contradição com a propriedade de causalidade dada essas três relações entrada-saída?)
Passo 2
O que significa “sistema causal” (explicação didática):\n
- Um sistema é causal se, para todo tempo
, a saída no tempo depende somente dos valores da entrada em instantes tais que . Em palavras simples: o sistema não pode “ver o futuro” da entrada; nada que aconteça na saída antes de um certo instante pode depender de valores da entrada que ocorrerão depois desse instante.\n - Uma consequência prática: se uma entrada
é zero para todos os tempos menores que algum (por exemplo para ), então uma saída causal também deve ser zero para . Não pode haver saída não nula antes do início da entrada.
Passo 3
Interpretando cuidadosamente a expressão dada para
:\n
- O enunciado colocou o termo
no meio da expressão; isso fica um pouco confuso, mas a leitura mais natural é que o primeiro termo da saída é (ou seja ) e o segundo termo é .\n - Assim, a forma que vamos usar é
Observação: se alguém interpretasse de outra forma (por exemplo ambos os fatores com
), deve-se notar que o enunciado explicitou um
no primeiro fator — e essa presença de
é a chave para testar causalidade.
Passo 4
Avaliação temporal dos sinais (onde a entrada é nula ou não):\n
- A entrada
é visivelmente zero para todos os , porque quando . Em notação:
- Agora veja a saída
que usamos:
Para tempos
temos
e
. Então, para
,
Em particular, há instantes (por exemplo
) onde
mas
é estritamente diferente de zero.
Passo 5
Conclusão lógica sobre causalidade (passo-a-passo e didático):\n
- A definição de causalidade exige que, se a entrada é zero antes de
, a saída também deve ser zero antes de . Aqui temos exatamente o contrário: para mas já para .\n - Isso significa que a saída em instantes anteriores a
está dependendo de algo que só “acontece” na entrada a partir de . Ou dito de outra forma: o sistema está produzindo resposta antes do início da entrada — comportamento impossível para um sistema causal.\n - Portanto as relações fornecidas contradizem a causalidade: o sistema não pode ser causal.
Passo 6
Observações finais e confirmação intuitiva (amigável e encorajadora):\n
- Mesmo sem assumir linearidade ou invariância no tempo, a simples presença de saída não nula em intervalos anteriores ao início da entrada já basta para declarar não causalidade. Não precisamos usar os outros pares
e para essa conclusão.\n - Sei que essa confusão de sinais e funções degrau dá nos nervos — mas a regra prática para provas é: procure por intervalos onde
e verifique se o enunciado dá ali; se encontrar, pode declarar não causalidade com segurança. Força aí — você já entendeu a ideia chave!
Resposta
O sistema não pode ser causal.