Um sistema produz a saida y_{1}(t)=2 e^{-3 t} u(t)+3 e^{-4 t} u(t) para a entrada x_{1}(t)=e^{-3 t} u(t). Para a entrada x_{2}(t)=2 e^{-3 t} u(t), a saida è y_{2}(t)= 4 e^{-3 t} u(t)+8 e^{-4 t} u(t) . \quad A \quad saida \, y_{3}(t)=e^{-3 t} u(t-1) \times 2 e^{3} u(t)+ 3 e^{-4(t-1)} u(t-1) é gerada quando a entrada é x_{3}(t)=e^{-3(t-1)} u(t-1). Disserte sobre a possibilidade de o sistema ser:
(c) causal;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou reescrevê-las exatamente como foram fornecidas, em notação matemática):\n
  • Entrada \,x_{1}(t)=e^{-3 t}u(t)\, produz saída \,y_{1}(t)=2e^{-3 t}u(t)+3e^{-4 t}u(t).\n
  • Entrada \,x_{2}(t)=2e^{-3 t}u(t)\, produz saída \,y_{2}(t)=4e^{-3 t}u(t)+8e^{-4 t}u(t).\n
  • Entrada \,x_{3}(t)=e^{-3(t-1)}u(t-1)\, produz saída, conforme enunciado, \,y_{3}(t)=e^{-3 t}u(t-1)\times 2e^{3}u(t)+3e^{-4(t-1)}u(t-1).\n\n
    A pergunta que vamos responder: o sistema pode ser causal? (ou seja, existe alguma contradição com a propriedade de causalidade dada essas três relações entrada-saída?)

Passo 2

O que significa “sistema causal” (explicação didática):\n
  • Um sistema é causal se, para todo tempo t_{0}, a saída no tempo t_{0} depende somente dos valores da entrada em instantes \tau tais que \tau\le t_{0}. Em palavras simples: o sistema não pode “ver o futuro” da entrada; nada que aconteça na saída antes de um certo instante pode depender de valores da entrada que ocorrerão depois desse instante.\n
  • Uma consequência prática: se uma entrada x(t) é zero para todos os tempos menores que algum t_{s} (por exemplo x(t)=0 para t<t_{s}), então uma saída causal também deve ser zero para t<t_{s}. Não pode haver saída não nula antes do início da entrada.

Passo 3

Interpretando cuidadosamente a expressão dada para \,y_{3}(t)\,:\n
  • O enunciado colocou o termo \times 2e^{3}u(t) no meio da expressão; isso fica um pouco confuso, mas a leitura mais natural é que o primeiro termo da saída é \,2e^{3}e^{-3t}u(t)\, (ou seja \,2e^{3} \cdot e^{-3t}u(t)\,) e o segundo termo é \,3e^{-4(t-1)}u(t-1).\n
  • Assim, a forma que vamos usar é
y_{3}(t)=2e^{3}e^{-3t}u(t)+3e^{-4(t-1)}u(t-1).
Observação: se alguém interpretasse de outra forma (por exemplo ambos os fatores com u(t-1)), deve-se notar que o enunciado explicitou um u(t) no primeiro fator — e essa presença de u(t) é a chave para testar causalidade.

Passo 4

Avaliação temporal dos sinais (onde a entrada é nula ou não):\n
  • A entrada \,x_{3}(t)=e^{-3(t-1)}u(t-1)\, é visivelmente zero para todos os t<1, porque u(t-1)=0 quando t<1. Em notação:
x_{3}(t)=0\quad\text{para}\quad t<1.
  • Agora veja a saída y_{3}(t) que usamos:
y_{3}(t)=2e^{3}e^{-3t}u(t)+3e^{-4(t-1)}u(t-1).
Para tempos 0\le t<1 temos u(t)=1 e u(t-1)=0. Então, para 0\le t<1,
y_{3}(t)=2e^{3}e^{-3t}\neq 0.
Em particular, há instantes (por exemplo t=0{,}5) onde x_{3}(t)=0 mas y_{3}(t) é estritamente diferente de zero.

Passo 5

Conclusão lógica sobre causalidade (passo-a-passo e didático):\n
  • A definição de causalidade exige que, se a entrada é zero antes de t=1, a saída também deve ser zero antes de t=1. Aqui temos exatamente o contrário: \,x_{3}(t)=0 para t<1 mas y_{3}(t)\neq 0 já para 0\le t<1.\n
  • Isso significa que a saída em instantes anteriores a 1 está dependendo de algo que só “acontece” na entrada a partir de t=1. Ou dito de outra forma: o sistema está produzindo resposta antes do início da entrada — comportamento impossível para um sistema causal.\n
  • Portanto as relações fornecidas contradizem a causalidade: o sistema não pode ser causal.

Passo 6

Observações finais e confirmação intuitiva (amigável e encorajadora):\n
  • Mesmo sem assumir linearidade ou invariância no tempo, a simples presença de saída não nula em intervalos anteriores ao início da entrada já basta para declarar não causalidade. Não precisamos usar os outros pares (x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}) para essa conclusão.\n
  • Sei que essa confusão de sinais e funções degrau dá nos nervos — mas a regra prática para provas é: procure por intervalos onde x(t)=0 e verifique se o enunciado dá y(t)\neq 0 ali; se encontrar, pode declarar não causalidade com segurança. Força aí — você já entendeu a ideia chave!

Resposta

O sistema não pode ser causal.

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