Encontre a função no tempo correspondente às seguintes funções:
Valor 3,0
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio complexo
e pede: encontrar a função no tempo correspondente (ou seja, encontrar
tal que
).
Informações fornecidas relevantes:
Informações fornecidas relevantes:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O objetivo é obter
em termos de , usando transformadas de Laplace inversa.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado do polinômio do denominador para reconhecer a forma padrão
. Calcula-se:
Portanto o denominador pode ser escrito como
Assim podemos reescrever
como
Passo 3
Reescreve o numerador em função de
para facilitar separação:
Substituindo em
obtemos a decomposição em duas frações:
Vamos inverter a Transformada de Laplace de cada parcela separadamente.
Passo 4
Lembrete das transformadas que vamos usar (com explicação e derivação curta, sem pular etapas):
- Para constantes
,
Essas fórmulas são básicas e vêm direto da integral da transformada.
- Propriedade útil: multiplicar por
no tempo corresponde a derivar no domínio :
Usando essa propriedade sobre as funções acima obtemos formas com denominador ao quadrado:
- Diferenciando
temos
Pelo lado do tempo isso significa
Logo, isolando
,
Isto nos permite inverter parcelas do tipo
diretamente.
- Para a parcela
usaremos convolução: como
temos
Pelo teorema do produto, o quadrado no domínio
corresponde à convolução no tempo:
Vamos calcular explicitamente essa convolução no caso
,
.
Passo 5
Inversão da primeira parcela:
aqui
e
. Pela fórmula do passo anterior,
Multiplicando por
obtemos
Portanto a inversa no tempo dessa parcela é
Passo 6
Inversão da segunda parcela pelo método da convolução:
onde
Como explicado, com
,
temos
Calcula-se a convolução:
Usa-se a identidade trigonométrica
Aplicando com
e
obtemos
Integração termo a termo:
faça a mudança
,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
E
Portanto
Daí
Voltando à parcela com fator
,
Passo 7
Somando as duas contribuições
e
obtemos a função no tempo:
Agrupando termos semelhantes:
Uma forma mais compacta é