3,0 (4) [3,0 pontos] Considere a EDO dada por
.
Para quais valores de
, temos a solução geral dada como a soma de funções trigonométricas multiplicada por uma função exponencial?
Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem:
com
. A pergunta é: para quais valores de
a solução geral desta equação pode ser escrita como uma soma de funções trigonométricas multiplicada por uma função exponencial — isto é, tem a forma
para constantes
reais e constantes arbitrárias
.
Passo 2
Vou explicar o método padrão para resolver equações lineares com coeficientes constantes (isso é importante para a prova): procura-se soluções do tipo exponencial
. Substituindo
na equação diferencial, obtemos uma equação algébrica para
— a chamada equação característica. Isso funciona porque derivadas de
devolvem fatores de
, então o ODE vira um polinômio em
.
Passo 3
Substituindo
em
temos
Como
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
A natureza das raízes da equação característica determina a forma da solução geral. Vamos calcular o discriminante da equação quadrática:
Três casos são possíveis:
-
: duas raízes reais distintas solução é soma de duas exponenciais reais. -
: raiz real dupla solução envolve e . -
: raízes complexas conjugadas solução é exponencial multiplicada por combinações de seno e cosseno (exatamente a forma pedida).
Portanto, queremos
.
Passo 5
Resolver a desigualdade
:
Dividindo por
(positivo), obtemos
ou seja
Passo 6
Para fixar a ideia, vamos escrever as raízes quando
. Sendo
, escrevemos
com
. Mais diretamente,
As raízes da característica são
Aqui
e
.
Passo 7
Quando as raízes são
(com
), a teoria (usar-se a fórmula de Euler
) dá a solução geral real:
Aplicando ao nosso caso (
,
), obtemos a forma pedida sempre que
:
Passo 8
Para completar o entendimento e evitar confusões na prova: se
então
e a solução tem forma
(não trigonométrica). Se
então
e as soluções são duas exponenciais reais
e
, também não trigonométricas.