3,0 (4) [3,0 pontos] Considere a EDO dada por y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-k y=0, \operatorname{com} k \in \mathbb{R}.
Para quais valores de k, temos a solução geral dada como a soma de funções trigonométricas multiplicada por uma função exponencial?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem:
y'' - 4y' - k y = 0,
com k \in \mathbb{R}. A pergunta é: para quais valores de k a solução geral desta equação pode ser escrita como uma soma de funções trigonométricas multiplicada por uma função exponencial — isto é, tem a forma
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big)
para constantes \alpha,\beta reais e constantes arbitrárias C_1,C_2.

Passo 2

Vou explicar o método padrão para resolver equações lineares com coeficientes constantes (isso é importante para a prova): procura-se soluções do tipo exponencial y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na equação diferencial, obtemos uma equação algébrica para r — a chamada equação característica. Isso funciona porque derivadas de e^{r x} devolvem fatores de r, então o ODE vira um polinômio em r.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} em
y''-4y'-ky=0
temos
r^{2}e^{r x}-4r e^{r x}-k e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq 0, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica:
r^{2}-4r-k=0.

Passo 4

A natureza das raízes da equação característica determina a forma da solução geral. Vamos calcular o discriminante da equação quadrática:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 1\cdot(-k)=16+4k.
Três casos são possíveis:
  • \Delta>0: duas raízes reais distintas \Rightarrow solução é soma de duas exponenciais reais.
  • \Delta=0: raiz real dupla \Rightarrow solução envolve e^{rx} e x e^{rx}.
  • \Delta<0: raízes complexas conjugadas \Rightarrow solução é exponencial multiplicada por combinações de seno e cosseno (exatamente a forma pedida).
Portanto, queremos \Delta<0.

Passo 5

Resolver a desigualdade \Delta<0:
16+4k<0.
Dividindo por 4 (positivo), obtemos
4+k<0
ou seja
k<-4.

Passo 6

Para fixar a ideia, vamos escrever as raízes quando k<-4. Sendo \Delta=4(4+k)<0, escrevemos \Delta=-4\omega^{2} com \omega>0. Mais diretamente,
\sqrt{16+4k}=2i\sqrt{-(4+k)}.
As raízes da característica são
r=\frac{4\pm\sqrt{16+4k}}{2}=2\pm i\sqrt{-(4+k)}.
Aqui \alpha=2 e \beta=\sqrt{-(4+k)}.

Passo 7

Quando as raízes são r= \alpha\pm i\beta (com \beta>0), a teoria (usar-se a fórmula de Euler e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)) dá a solução geral real:
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
Aplicando ao nosso caso ( \alpha=2, \beta=\sqrt{-(4+k)}), obtemos a forma pedida sempre que k<-4:
y(x)=e^{2x}\Big(C_{1}\cos\big(\sqrt{-(4+k)}\,x\big)+C_{2}\sin\big(\sqrt{-(4+k)}\,x\big)\Big).

Passo 8

Para completar o entendimento e evitar confusões na prova: se k=-4 então \Delta=0 e a solução tem forma y=(C_1 + C_2 x)e^{2x} (não trigonométrica). Se k>-4 então \Delta>0 e as soluções são duas exponenciais reais e^{r_1 x} e e^{r_2 x}, também não trigonométricas.

Resposta

k<-4

Exercícios relacionados