[ 4,0 pontos] 0 café está a 80^{\circ} \mathrm{C} logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 70^{\circ} \mathrm{C}, em uma cozinha a 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine a temperatura do café em função do tempo, e o tempo que levará para o café chegar a 50^{\circ} \mathrm{C}, ou seja, resolva o PVI dado por:
\left\{\begin{aligned} T^{\prime} & =k(T-30) \\ T(0) & =80 \text { e } T(1)=70 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a temperatura do café em função do tempo t (tempo em minutos).
  2. Determinar o tempo que o café levará para chegar a 50^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas:
  • A temperatura ambiente é 30^\circ\mathrm{C}.
  • A temperatura inicial do café é T(0)=80^\circ\mathrm{C}.
  • Após 1 minuto, T(1)=70^\circ\mathrm{C}.
  • A equação diferencial que relaciona a temperatura é
T' = k(T-30).

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro vou explicar a técnica que uso: aqui podemos separar variáveis porque a derivada T' depende apenas de T. Separar variáveis significa colocar todos os termos envolvendo T de um lado e os termos envolvendo t do outro, para então integrar ambos os lados.
A equação é
T' = \frac{dT}{dt} = k(T-30).
Separe as variáveis:
\frac{dT}{T-30} = k\,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. A integral de 1/(T-30) em relação a T é o logaritmo natural.
Integração:
\int \frac{dT}{T-30} = \int k\,dt
resulta em
\ln|T-30| = kt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui |T-30| aparece porque a primitiva de 1/(T-30) é \ln|T-30|.

Passo 4

Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados para obter a solução geral. Exponenciando,
|T-30| = e^{kt+C} = e^{C}e^{kt}.
Como T-30 é positivo no intervalo inicial (pois T(0)=80), podemos tirar o valor absoluto e escrever uma constante A>0:
T-30 = A e^{kt},
onde A = e^{C}. Portanto a solução geral é
T(t) = 30 + A e^{kt}.

Passo 5

Use a condição inicial T(0)=80 para achar A. Substituindo t=0:
80 = 30 + A e^{0} \quad\Rightarrow\quad A = 80-30 = 50.
Logo
T(t) = 30 + 50 e^{kt}.

Passo 6

Agora usamos T(1)=70 para determinar k. Substituindo t=1:
70 = 30 + 50 e^{k} \quad\Rightarrow\quad 50 e^{k} = 40 \quad\Rightarrow\quad e^{k} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}.
Tomando logaritmo natural,
k = \ln\!\left(\frac{4}{5}\right).
Observe que \ln(4/5)<0, o que faz sentido físico: a constante é negativa porque a temperatura do café está decrescendo em direção à temperatura ambiente.
Portanto a função temperatura fica
T(t) = 30 + 50 e^{(\ln(4/5))\,t}.
Usando a propriedade e^{(\ln a)\,t} = a^{t}, uma forma mais simples é
T(t) = 30 + 50\left(\frac{4}{5}\right)^{t}.

Passo 7

Agora determinamos o tempo t tal que T(t)=50. Partimos da expressão encontrada:
50 = 30 + 50 e^{kt}.
Subtraindo 30 e dividindo por 50:
e^{kt} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}.
Tomando logaritmo natural:
kt = \ln\!\left(\frac{2}{5}\right).
Como k=\ln(4/5), temos
t = \frac{\ln\!\left(\tfrac{2}{5}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{4}{5}\right)}.

Passo 8

Vamos calcular uma aproximação numérica para t. Valores aproximados dos logaritmos:
\ln\!\left(\tfrac{4}{5}\right) \approx -0{,}22314355,\qquad \ln\!\left(\tfrac{2}{5}\right) \approx -0{,}91629073.
Logo
t \approx \frac{-0{,}91629073}{-0{,}22314355} \approx 4{,}11\\ \text{(minutos)}.
Isso faz sentido: após 1 minuto está a 70^\circ\mathrm{C} e leva mais alguns minutos para alcançar 50^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T(t)=30+50\left(\dfrac{4}{5}\right)^{t}.\n t=\dfrac{\ln\!\left(\tfrac{2}{5}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{4}{5}\right)}\approx 4{,}11\\ \text{minutos}.

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