[ 4,0 pontos] 0 café está a
logo depois de coado e, um minuto depois, passa para
, em uma cozinha a
. Determine a temperatura do café em função do tempo, e o tempo que levará para o café chegar a
, ou seja, resolva o PVI dado por:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a temperatura do café em função do tempo
(tempo em minutos). - Determinar o tempo que o café levará para chegar a
.
Informações dadas:
- A temperatura ambiente é
. - A temperatura inicial do café é
. - Após
minuto, . - A equação diferencial que relaciona a temperatura é
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial. Primeiro vou explicar a técnica que uso: aqui podemos separar variáveis porque a derivada
depende apenas de
. Separar variáveis significa colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro, para então integrar ambos os lados.
A equação é
Separe as variáveis:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. A integral de
em relação a
é o logaritmo natural.
Integração:
resulta em
onde
é a constante de integração. Aqui
aparece porque a primitiva de
é
.
Passo 4
Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados para obter a solução geral. Exponenciando,
Como
é positivo no intervalo inicial (pois
), podemos tirar o valor absoluto e escrever uma constante
:
onde
. Portanto a solução geral é
Passo 5
Use a condição inicial
para achar
. Substituindo
:
Logo
Passo 6
Agora usamos
para determinar
. Substituindo
:
Tomando logaritmo natural,
Observe que
, o que faz sentido físico: a constante é negativa porque a temperatura do café está decrescendo em direção à temperatura ambiente.
Portanto a função temperatura fica
Usando a propriedade
, uma forma mais simples é
Passo 7
Agora determinamos o tempo
tal que
. Partimos da expressão encontrada:
Subtraindo 30 e dividindo por 50:
Tomando logaritmo natural:
Como
, temos
Passo 8
Vamos calcular uma aproximação numérica para
. Valores aproximados dos logaritmos:
Logo
Isso faz sentido: após
minuto está a
e leva mais alguns minutos para alcançar
.