5,0(3) [6,0 pontos] Considere a seguinte equação diferencial:
\left(y \cdot \cos (x)+2 x \cdot e^{y}\right)+\left(\operatorname{sen}(x)+x^{2} \cdot e^{y}-1\right) y^{\prime}=0
(a) Mostre que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO.
c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto (1,0), isto é, y(1)=0.

Passo 1

Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda):\n
A equação diferencial dada é
\left(y \cdot \cos (x)+2 x \cdot e^{y}\right)+\left(\operatorname{sen}(x)+x^{2} \cdot e^{y}-1\right) y^{\prime}=0.
As perguntas do enunciado são:\n
(a) Mostrar que a EDO é exata.\n
(b) Encontrar a solução geral da EDO.\n
(c) Encontrar a solução particular que passa pelo ponto (1,0), isto é, y(1)=0.\n
Informações úteis explícitas extraídas do enunciado (vai facilitar reconhecer a forma padrão):\n
  • Podemos escrever a EDO na forma diferencial total
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde, comparando termos, temos
M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y},
N(x,y)=\operatorname{sen}(x)+x^{2} e^{y}-1.

Passo 2

O que significa ser exata e como vamos testar isso (explicação didática):\n
  • Uma equação na forma \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Isso significa que d\Phi=M\,dx+N\,dy. \n
  • Uma condição prática e rápida para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é comparar as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} em uma região, a equação é exata nessa região.\n
  • Lembrete rápido sobre derivada parcial: ao calcular \partial M/\partial y tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y; ao calcular \partial N/\partial x tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x.

Passo 3

Calculemos \partial M/\partial y passo a passo:\n
Temos \;M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y}.\n
  • Derivando o primeiro termo y\cos(x) em relação a y: como \cos(x) é constante quando derivamos em y, obtemos \cos(x).\n
  • Derivando o segundo termo 2x e^{y} em relação a y: 2x é constante (em relação a y), e a derivada de e^{y} é e^{y}. Logo obtemos 2x e^{y}.\n
    Portanto
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(x) + 2x e^{y}.

Passo 4

Calculemos \partial N/\partial x passo a passo:\n
Temos \;N(x,y)=\operatorname{sen}(x)+x^{2} e^{y}-1.\n
  • Derivada de \operatorname{sen}(x) em relação a x é \cos(x).\n
  • Derivada de x^{2} e^{y} em relação a x: e^{y} é constante (em relação a x), então a derivada é 2x e^{y}.\n
  • Derivada de -1 é 0.\n
    Portanto
\frac{\partial N}{\partial x} = \cos(x) + 2x e^{y}.

Passo 5

Conclusão sobre exatidão (a resposta do item (a)):\n
Comparando os resultados dos passos anteriores, temos
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(x) + 2x e^{y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Como as derivadas parciais coincidem, a equação é exata. (Resposta do item (a): a EDO é exata.)

Passo 6

Como encontrar a solução geral quando a equação é exata (explicação didática):\n
  • Se \Phi_x=M e \Phi_y=N, então podemos obter \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante). A integral em x normalmente produz uma “constante” de integração que pode depender de y; chamamos isso de g(y). Depois diferenciamos o resultado obtido em relação a y e igualamos a N para encontrar g'(y), e então g(y).\n
  • Esse procedimento constrói explicitamente a função potencial \Phi(x,y) cuja curva de nível \Phi(x,y)=C é a solução implícita da EDO.

Passo 7

Integramos M(x,y) em relação a x para começar a construir \Phi:\n
M(x,y)=y\cos(x)+2x e^{y}.
Integrando termo a termo em x (com y tratado como constante):
  • \displaystyle \int y\cos(x)\,dx = y\sin(x), porque y é constante e \int \cos(x)\,dx=\sin(x).\n
  • \displaystyle \int 2x e^{y}\,dx = e^{y}\int 2x\,dx = e^{y}\cdot x^{2}, porque e^{y} é constante em relação a x e \int 2x\,dx=x^{2}.\n
    Assim obtemos, incluindo a “constante” g(y) que pode depender de y:
\Phi(x,y) = y\sin(x) + x^{2} e^{y} + g(y).

Passo 8

Encontrar g(y) comparando \Phi_{y} com N:\n
Calculemos \Phi_{y} a partir da \Phi que obtivemos:
  • Derivando y\sin(x) em relação a y \sin(x).\n
  • Derivando x^{2} e^{y} em relação a y x^{2} e^{y}.\n
  • Derivando g(y) em relação a y g'(y).\n
    Portanto
\Phi_{y} = \sin(x) + x^{2} e^{y} + g'(y).
Mas sabemos que \Phi_{y} deve ser igual a N(x,y)=\operatorname{sen}(x)+x^{2} e^{y}-1. Igualando:
\sin(x) + x^{2} e^{y} + g'(y) = \sin(x) + x^{2} e^{y} - 1.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, obtemos
g'(y) = -1.
Integrando em y,
g(y) = -y + C_0,
onde C_0 é constante real.

Passo 9

Escrevendo a função potencial completa e a solução geral implícita:\n
Substituindo g(y)=-y + C_0 em \Phi(x,y) obtemos
\Phi(x,y) = y\sin(x) + x^{2} e^{y} - y + C_0.
A solução geral da EDO é dada pela condição implícita \Phi(x,y)= constante. Podemos absorver C_0 num único parâmetro constante C. Portanto a solução geral pode ser escrita como
y\sin(x) + x^{2} e^{y} - y = C,
onde C é constante arbitrária. (Resposta do item (b): essa é a solução geral, usualmente deixada em forma implícita.)

Passo 10

Encontrar a solução particular que satisfaz y(1)=0 (item (c)):\n
Substituímos x=1 e y=0 na expressão da solução geral para determinar C:
  • Calcule y\sin(x) em (1,0): 0\cdot\sin(1)=0.\n
  • Calcule x^{2} e^{y} em (1,0): 1^{2}\cdot e^{0}=1.\n
  • Calcule -y em (1,0): -0=0.\n
    Somando: 0 + 1 + 0 = 1. Logo C=1.\n
    Portanto a solução particular que passa por (1,0) é a curva implícita
y\sin(x) + x^{2} e^{y} - y = 1.

Passo 11

Comentário final rápido e checagem intuitiva (didática e motivadora):\n
  • A solução ficou em forma implícita. Nem sempre dá para isolar y explicitamente em equações exatas; isso é normal em provas. O importante é saber reconhecer exatidão, construir \Phi por integração e aplicar a condição inicial para fixar a constante.\n
  • Se quiser, você pode derivar implicitamente a solução encontrada e verificar que volta à equação original — isso é uma boa checagem, mas não é necessário aqui porque seguimos os passos padrão de construção da função potencial.

Resposta

(a) A equação é exata, pois \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\cos(x)+2x e^{y}=\frac{\partial N}{\partial x}.\n
(b) Solução geral (implícita): \displaystyle y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=C.\n
(c) Solução particular com y(1)=0: \displaystyle y\sin(x)+x^{2}e^{y}-y=1.

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