5,0(3) [6,0 pontos] Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO.
c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
, isto é,
.
b) Encontre a solução geral da EDO.
c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
Passo 1
Enunciado e dados que temos (sem resolver ainda):\n
A equação diferencial dada é
A equação diferencial dada é
As perguntas do enunciado são:\n
(a) Mostrar que a EDO é exata.\n
(b) Encontrar a solução geral da EDO.\n
(c) Encontrar a solução particular que passa pelo ponto , isto é,
.\n
Informações úteis explícitas extraídas do enunciado (vai facilitar reconhecer a forma padrão):\n
(a) Mostrar que a EDO é exata.\n
(b) Encontrar a solução geral da EDO.\n
(c) Encontrar a solução particular que passa pelo ponto
Informações úteis explícitas extraídas do enunciado (vai facilitar reconhecer a forma padrão):\n
- Podemos escrever a EDO na forma diferencial total
onde, comparando termos, temos
Passo 2
O que significa ser exata e como vamos testar isso (explicação didática):\n
- Uma equação na forma
é exata se existe uma função potencial tal que e . Isso significa que . \n - Uma condição prática e rápida para verificar exatidão (quando
e têm derivadas parciais contínuas) é comparar as derivadas parciais cruzadas:
Se
em uma região, a equação é exata nessa região.\n
- Lembrete rápido sobre derivada parcial: ao calcular
tratamos como constante e diferenciamos em relação a ; ao calcular tratamos como constante e diferenciamos em relação a .
Passo 3
Calculemos
passo a passo:\n
Temos \n
Temos
- Derivando o primeiro termo
em relação a : como é constante quando derivamos em , obtemos .\n - Derivando o segundo termo
em relação a : é constante (em relação a ), e a derivada de é . Logo obtemos .\n
Portanto
Passo 4
Calculemos
passo a passo:\n
Temos \n
Temos
- Derivada de
em relação a é .\n - Derivada de
em relação a : é constante (em relação a ), então a derivada é .\n - Derivada de
é .\n
Portanto
Passo 5
Conclusão sobre exatidão (a resposta do item (a)):\n
Comparando os resultados dos passos anteriores, temos
Comparando os resultados dos passos anteriores, temos
Como as derivadas parciais coincidem, a equação é exata. (Resposta do item (a): a EDO é exata.)
Passo 6
Como encontrar a solução geral quando a equação é exata (explicação didática):\n
- Se
e , então podemos obter integrando em relação a (tratando como constante). A integral em normalmente produz uma “constante” de integração que pode depender de ; chamamos isso de . Depois diferenciamos o resultado obtido em relação a e igualamos a para encontrar , e então .\n - Esse procedimento constrói explicitamente a função potencial
cuja curva de nível é a solução implícita da EDO.
Passo 7
Integramos
em relação a
para começar a construir
:\n
Integrando termo a termo em
(com
tratado como constante):
-
, porque é constante e .\n -
, porque é constante em relação a e .\n
Assim obtemos, incluindo a “constante”que pode depender de :
Passo 8
Encontrar
comparando
com
:\n
Calculemos a partir da
que obtivemos:
Calculemos
- Derivando
em relação a dá .\n - Derivando
em relação a dá .\n - Derivando
em relação a dá .\n
Portanto
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando:
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, obtemos
Integrando em
,
onde
é constante real.
Passo 9
Escrevendo a função potencial completa e a solução geral implícita:\n
Substituindo em
obtemos
Substituindo
A solução geral da EDO é dada pela condição implícita
constante. Podemos absorver
num único parâmetro constante
. Portanto a solução geral pode ser escrita como
onde
é constante arbitrária. (Resposta do item (b): essa é a solução geral, usualmente deixada em forma implícita.)
Passo 10
Encontrar a solução particular que satisfaz
(item (c)):\n
Substituímos e
na expressão da solução geral para determinar
:
Substituímos
- Calcule
em : .\n - Calcule
em : .\n - Calcule
em : .\n
Somando:. Logo .\n
Portanto a solução particular que passa poré a curva implícita
Passo 11
Comentário final rápido e checagem intuitiva (didática e motivadora):\n
- A solução ficou em forma implícita. Nem sempre dá para isolar
explicitamente em equações exatas; isso é normal em provas. O importante é saber reconhecer exatidão, construir por integração e aplicar a condição inicial para fixar a constante.\n - Se quiser, você pode derivar implicitamente a solução encontrada e verificar que volta à equação original — isso é uma boa checagem, mas não é necessário aqui porque seguimos os passos padrão de construção da função potencial.
Resposta
(a) A equação é exata, pois
\n
(b) Solução geral (implícita): \n
(c) Solução particular com :
(b) Solução geral (implícita):
(c) Solução particular com