[3.0 pts] Analise a dinâmica de reator em Batelada, isotérmico, onde ocorre a reação com \mathbf{k}_{1}=\mathbf{2} e \mathbf{k}_{2}=\mathbf{k}_{3}=\mathbf{1} :
Pede-se:
a) Descreva as equações do Balanço de cada componente, ou seja, d C a / d t ; d C b / d t ; d C c / d t;

Passo 1

O enunciado pede as equações de balanço (as equações diferenciais temporais) para as concentrações de cada componente em um reator batelada isotérmico: dC_A/dt, dC_B/dt e dC_C/dt. As informações dadas (retiradas da figura) são:
  • Esquema de reações: há equilíbrio entre A e B e conversão de B para C, isto é, A \overset{k_1}{\underset{k_2}{\rightleftarrows}} B \overset{k_3}{\to} C.
  • Constantes cinéticas: k_1=2 e k_2=k_3=1.
    Não há informação sobre entradas/saídas (é batelada), nem variação de volume indicada; portanto assumimos volume constante e que as únicas fontes/afluxos são as reações mostradas.

Passo 2

Princípio geral do balanço (explicação didática e simples).
  • Em um reator batelada, para cada espécie a variação temporal da concentração é igual à soma das contribuições de produção menos consumo por todas as reações (não há fluxo de entrada/saída).
  • Lei das velocidades de massa-ação (para reações elementares unimoleculares/β): a velocidade de uma etapa unimolecular é proporcional à concentração do reagente com a constante de proporcionalidade igual à constante cinética. Ex.: a taxa da etapa A \to B é r_1 = k_1 C_A. Aqui:
    • C_A(t), C_B(t), C_C(t) são as concentrações molares (por exemplo, mol·L^{-1}) dependentes do tempo;
    • k_i são constantes de velocidade (unidades de tempo^{-1} para reações unimoleculares).
  • Sinal das contribuições: se uma reação consome a espécie, seu termo aparece com sinal negativo; se produz, com sinal positivo.

Passo 3

Determinar as velocidades das etapas (pela figura e pela lei da massa-ação):
  • Velocidade da etapa direta A \to B:
r_1 = k_1\,C_A.
  • Velocidade da etapa inversa B \to A:
r_2 = k_2\,C_B.
  • Velocidade da etapa B \to C:
r_3 = k_3\,C_B.
Aqui r_1,r_2,r_3 têm unidades de concentração por tempo (ex.: mol·L{-1}·s{-1}).

Passo 4

Balanço para A (explicação passo a passo).
  • Quais reações afetam A? Apenas A \to B (consome A) e B \to A (produz A).
  • Portanto a variação de C_A é produção por B\to A menos consumo por A\to B:
\frac{dC_A}{dt} = -r_1 + r_2.
Substituindo as expressões de r_1 e r_2:
\frac{dC_A}{dt} = -k_1\,C_A + k_2\,C_B.
Expliquei: o primeiro termo é negativo porque A é consumido ao se transformar em B; o segundo termo é positivo porque B se reconverte em A.

Passo 5

Balanço para B (passo a passo).
  • Reações que afetam B: produção por A\to B (taxa r_1), consumo por B\to A (taxa r_2), e consumo por B\to C (taxa r_3).
  • Logo:
\frac{dC_B}{dt} = +r_1 - r_2 - r_3.
Substituindo:
\frac{dC_B}{dt} = k_1\,C_A - k_2\,C_B - k_3\,C_B.
Podemos agrupar os termos em C_B:
\frac{dC_B}{dt} = k_1\,C_A - (k_2 + k_3)\,C_B.
Explicação: B é formado por A e consumido tanto na volta para A quanto na formação de C.

Passo 6

Balanço para C (passo a passo).
  • A única reação que afeta C é B\to C, que produz C com taxa r_3.
  • Assim:
\frac{dC_C}{dt} = r_3 = k_3\,C_B.
Explicação: se k_3>0 e houver B, C aumenta; não há consumo de C no esquema dado.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos dados k_1=2 e k_2=k_3=1 e checando conservação (dica para a prova).
  • Substituindo nos balanços:
\frac{dC_A}{dt} = -2\,C_A + 1\cdot C_B,
\frac{dC_B}{dt} = 2\,C_A - (1+1)\,C_B = 2\,C_A - 2\,C_B,
\frac{dC_C}{dt} = 1\cdot C_B = C_B.
  • Verificação rápida: somando as três equações dá
\frac{d}{dt}(C_A+C_B+C_C)=0,
o que mostra que a soma das concentrações totais é constante (conservação de átomos/moles no esquema sem ganho/remoção), um bom cheque aritmético na prova.

Resposta

\frac{dC_A}{dt}=-2\,C_A + C_B
\frac{dC_B}{dt}=2\,C_A - 2\,C_B
\frac{dC_C}{dt}=C_B

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