Nos Exercícios de 29 a 36, ache o domínio da função
e faça um esboço do gráfico.
-
Passo 1
O enunciado nos dá a função
de duas variáveis
e pede duas coisas: (1) achar o domínio de
e (2) fazer um esboço do gráfico de
. Vou listar as informações fornecidas e o que é solicitado:
- Informação dada: a expressão algébrica
. - Perguntas: (a) domínio de
; (b) esboço do gráfico (ou seja, a forma da superfície no espaço com ).
Passo 2
Determinar o domínio. Aqui a ideia é: o domínio de uma função com duas variáveis é o conjunto de pares
para os quais a expressão está bem definida. A expressão dada é um polinômio em
e
. Polinômios estão definidos para todo número real, sem restrições (não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo, etc.). Portanto todo par
real é permitido. Concluímos que o domínio é
Passo 3
Propriedades importantes da função (úteis para o esboço). Vou apontar propriedades que ajudam a desenhar:
-
para todo , porque soma de quadrados com coeficientes positivos. - Existe um mínimo global em
. Avaliando em obtemos
Logo o valor mínimo de
é
e ocorre apenas em
.
- À medida que
(a distância ao origem) aumenta, aumenta sem limite (tende a ).
Passo 4
Curvas de nível (contornos) — ferramenta chave para esboçar. As curvas de nível são os conjuntos
para constantes
. Vamos escrever a equação geral:
Para
isto dá apenas o ponto
. Para
rearranjando,
que é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. Assim as curvas de nível são elipses concêntricas que crescem com
.
Passo 5
Exemplos numéricos de curvas de nível para ajudar no desenho. Vou escolher alguns
simples e achar os interceptos:
- Para
: . Interceptos: , . - Para
: . Interceptos: , . - Para
: . Interceptos: , .
Esses pontos mostram que, à medida queaumenta, as elipses se alargam mais no eixo do que no eixo (porque o coeficiente de é menor).
Passo 6
Seções transversais (outro recurso para visualizar a superfície). Cortes por planos que passam pelos eixos dão curvas mais simples:
- Corte por
: fica , uma parábola no plano com vértice em e abertura para cima. - Corte por
: fica , outra parábola no plano também com vértice em , mas mais “estreita” que a anterior (ela cresce mais rápido porque o coeficiente é maior). - Corte por uma reta qualquer
dá , ainda parábola em função de — todas abrem para cima com taxas diferentes.
Essas seções mostram que a superfície sobe continuamente a partir do mínimo em
e que a curvatura é diferente nas direções
e
.
Passo 7
Descrever o tipo de superfície e como representá-la no rascunho de prova. A superfície é um paraboloide elíptico (ou seja, uma “tigela” elíptica) cuja forma geral é
Características para anotar no esboço:
- Vértice em
. - Abre para cima (valores de
não negativos). - Curvas de nível no plano
são elipses centradas na origem, mais alongadas no eixo . - Ao desenhar, é útil primeiro marcar no plano
algumas elipses com os interceptos calculados (Passo 5) e depois levantar cada elipse até a altura — imaginar “anel” na altura correspondente: quanto maior , mais alto e maior o anel.
Passo 8
Roteiro prático para fazer o esboço à mão na prova (passo a passo curto):
- Desenhe os eixos
e no plano horizontal e o eixo vertical. - No plano
desenhe elipses concêntricas para com os interceptos dados no Passo 5. - Em cada elipse, marque a altura
(por exemplo, sobre a elipse de desenhe uma linha vertical até , e assim por diante). - Ligue suavemente essas elipses com curvas para formar a “tigela” que tem vértice em
e sobe até o infinito. - Acrescente as parábolas de seção nos planos
e como guias (são os “meridianos” da tigela).
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: superfície do tipo paraboloide elíptico com vértice em , aberto para cima; curvas de nível
são elipses centradas na origem.
Esboço do gráfico: superfície do tipo paraboloide elíptico com vértice em