Nos Exercícios de 29 a 36, ache o domínio da função f e faça um esboço do gráfico.
  1. f(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f de duas variáveis
f(x,y)=4x^{2}+9y^{2},
e pede duas coisas: (1) achar o domínio de f e (2) fazer um esboço do gráfico de f. Vou listar as informações fornecidas e o que é solicitado:
  • Informação dada: a expressão algébrica \,4x^{2}+9y^{2}\,.
  • Perguntas: (a) domínio de f; (b) esboço do gráfico (ou seja, a forma da superfície no espaço (x,y,z) com z=f(x,y)).

Passo 2

Determinar o domínio. Aqui a ideia é: o domínio de uma função com duas variáveis é o conjunto de pares (x,y) para os quais a expressão está bem definida. A expressão dada é um polinômio em x e y. Polinômios estão definidos para todo número real, sem restrições (não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo, etc.). Portanto todo par (x,y) real é permitido. Concluímos que o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\}=\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Propriedades importantes da função (úteis para o esboço). Vou apontar propriedades que ajudam a desenhar:
  • f(x,y)\ge 0 para todo (x,y), porque soma de quadrados com coeficientes positivos.
  • Existe um mínimo global em (0,0). Avaliando f em (0,0) obtemos
f(0,0)=4\cdot0^{2}+9\cdot0^{2}=0.
Logo o valor mínimo de f é 0 e ocorre apenas em (0,0).
  • À medida que \|(x,y)\| (a distância ao origem) aumenta, f(x,y) aumenta sem limite (tende a +\infty).

Passo 4

Curvas de nível (contornos) — ferramenta chave para esboçar. As curvas de nível são os conjuntos \{(x,y): f(x,y)=c\} para constantes c\ge 0. Vamos escrever a equação geral:
4x^{2}+9y^{2}=c.
Para c=0 isto dá apenas o ponto (0,0). Para c>0 rearranjando,
\frac{x^{2}}{c/4}+\frac{y^{2}}{c/9}=1,
que é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x igual a \sqrt{c/4}=\tfrac{1}{2}\sqrt{c} e semi-eixo em y igual a \sqrt{c/9}=\tfrac{1}{3}\sqrt{c}. Assim as curvas de nível são elipses concêntricas que crescem com c.

Passo 5

Exemplos numéricos de curvas de nível para ajudar no desenho. Vou escolher alguns c simples e achar os interceptos:
  • Para c=1: 4x^{2}+9y^{2}=1. Interceptos: x=\pm\tfrac{1}{2}, y=\pm\tfrac{1}{3}.
  • Para c=4: 4x^{2}+9y^{2}=4. Interceptos: x=\pm1, y=\pm\tfrac{2}{3}.
  • Para c=9: 4x^{2}+9y^{2}=9. Interceptos: x=\pm\tfrac{3}{2}, y=\pm1.
    Esses pontos mostram que, à medida que c aumenta, as elipses se alargam mais no eixo x do que no eixo y (porque o coeficiente de x^{2} é menor).

Passo 6

Seções transversais (outro recurso para visualizar a superfície). Cortes por planos que passam pelos eixos dão curvas mais simples:
  • Corte por y=0: fica z=f(x,0)=4x^{2}, uma parábola no plano y=0 com vértice em (0,0,0) e abertura para cima.
  • Corte por x=0: fica z=f(0,y)=9y^{2}, outra parábola no plano x=0 também com vértice em (0,0,0), mas mais “estreita” que a anterior (ela cresce mais rápido porque o coeficiente 9 é maior).
  • Corte por uma reta qualquer y=kx z=(4+9k^{2})x^{2}, ainda parábola em função de x — todas abrem para cima com taxas diferentes.
Essas seções mostram que a superfície sobe continuamente a partir do mínimo em (0,0,0) e que a curvatura é diferente nas direções x e y.

Passo 7

Descrever o tipo de superfície e como representá-la no rascunho de prova. A superfície é um paraboloide elíptico (ou seja, uma “tigela” elíptica) cuja forma geral é
z=4x^{2}+9y^{2}.
Características para anotar no esboço:
  • Vértice em (0,0,0).
  • Abre para cima (valores de z não negativos).
  • Curvas de nível no plano xy são elipses centradas na origem, mais alongadas no eixo x.
  • Ao desenhar, é útil primeiro marcar no plano xy algumas elipses c=1,4,9 com os interceptos calculados (Passo 5) e depois levantar cada elipse até a altura z=c — imaginar “anel” na altura correspondente: quanto maior c, mais alto e maior o anel.

Passo 8

Roteiro prático para fazer o esboço à mão na prova (passo a passo curto):
  1. Desenhe os eixos x e y no plano horizontal e o eixo z vertical.
  2. No plano xy desenhe elipses concêntricas para c=1,4,9 com os interceptos dados no Passo 5.
  3. Em cada elipse, marque a altura z=c (por exemplo, sobre a elipse de c=1 desenhe uma linha vertical até z=1, e assim por diante).
  4. Ligue suavemente essas elipses com curvas para formar a “tigela” que tem vértice em (0,0,0) e sobe até o infinito.
  5. Acrescente as parábolas de seção nos planos y=0 e x=0 como guias (são os “meridianos” da tigela).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Esboço do gráfico: superfície do tipo paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0), aberto para cima; curvas de nível \,4x^{2}+9y^{2}=c\,(c>0) são elipses centradas na origem.

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