25-30 Encontre
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Nos é dada a função
definida por . - Pede-se a derivada de
no ponto , isto é . - Informação importante:
é um número qualquer do domínio (um ponto onde queremos a inclinação da tangente). Não foi dado valor numérico para ; vamos obter uma expressão em termos de .
Passo 2
Definição de derivada que vamos usar (essa é a “receita” básica para derivar num ponto):
Explicando as partes:
-
representa um pequeno incremento em ; -
é a variação no valor da função quando a variável varia de para ; - dividir por
dá a taxa média de variação (declive da secante); - tomar o limite
transforma a taxa média na taxa instantânea (inclinação da tangente).
Passo 3
Aplicando a definição à função
. Substituímos
na fórmula:
Passo 4
Agora precisamos expandir
. Usamos o Teorema do Binômio (ou a regra de expansão), que diz que
Breve explicação dos coeficientes
: eles vêm dos coeficientes binomiais
(ou da linha 4 do triângulo de Pascal).
Passo 5
Substituímos a expansão na fração e simplificamos:
Cancelar
e fatorar
:
Passo 6
Tomamos o limite quando
. Como cada termo é uma soma de polinômios em
, basta observar que todos os termos com fator
tendem a zero:
Justificativa curta: polinômios são funções contínuas, então o limite é o polinômio avaliado em
; os termos que contêm
desaparecem.
Passo 7
Interpretação e dica prática para a prova:
- O passo acima é uma demonstração direta para
da conhecida “regra do expoente” (power rule): para com inteiro positivo, . Aqui, com , obtemos e, avaliando em , . - Exemplo numérico rápido para reforçar: se
, então . Isso significa que a inclinação da tangente a em é . - Força aí: a técnica padrão na prova é lembrar a definição de derivada e/ou usar a regra do expoente. Se tiver tempo, demonstre rapidamente pelo limite como fizemos; se estiver sem tempo, aplique a regra
.