25-30 Encontre f^{\prime}(a).
  1. f(t)=t^{4}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Nos é dada a função f definida por f(t)=t^{4}.
  • Pede-se a derivada de f no ponto a, isto é f^{\prime}(a).
  • Informação importante: a é um número qualquer do domínio (um ponto onde queremos a inclinação da tangente). Não foi dado valor numérico para a; vamos obter uma expressão em termos de a.

Passo 2

Definição de derivada que vamos usar (essa é a “receita” básica para derivar num ponto):
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando as partes:
  • h representa um pequeno incremento em t;
  • f(a+h)-f(a) é a variação no valor da função quando a variável varia de a para a+h;
  • dividir por h dá a taxa média de variação (declive da secante);
  • tomar o limite h\to 0 transforma a taxa média na taxa instantânea (inclinação da tangente).

Passo 3

Aplicando a definição à função f(t)=t^{4}. Substituímos f na fórmula:
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h}.

Passo 4

Agora precisamos expandir (a+h)^{4}. Usamos o Teorema do Binômio (ou a regra de expansão), que diz que
(a+h)^{4}=a^{4}+4a^{3}h+6a^{2}h^{2}+4a h^{3}+h^{4}.
Breve explicação dos coeficientes 1,4,6,4,1: eles vêm dos coeficientes binomiais \binom{4}{k} (ou da linha 4 do triângulo de Pascal).

Passo 5

Substituímos a expansão na fração e simplificamos:
\frac{(a+h)^{4}-a^{4}}{h} =\frac{\bigl(a^{4}+4a^{3}h+6a^{2}h^{2}+4a h^{3}+h^{4}\bigr)-a^{4}}{h}.
Cancelar a^{4} e fatorar h:
\frac{4a^{3}h+6a^{2}h^{2}+4a h^{3}+h^{4}}{h} =4a^{3}+6a^{2}h+4a h^{2}+h^{3}.

Passo 6

Tomamos o limite quando h\to 0. Como cada termo é uma soma de polinômios em h, basta observar que todos os termos com fator h tendem a zero:
\lim_{h\to 0}\bigl(4a^{3}+6a^{2}h+4a h^{2}+h^{3}\bigr)=4a^{3}+6a^{2}\cdot 0+4a\cdot 0^{2}+0^{3}=4a^{3}.
Justificativa curta: polinômios são funções contínuas, então o limite é o polinômio avaliado em h=0; os termos que contêm h desaparecem.

Passo 7

Interpretação e dica prática para a prova:
  • O passo acima é uma demonstração direta para n=4 da conhecida “regra do expoente” (power rule): para f(t)=t^{n} com n inteiro positivo, f^{\prime}(t)=n t^{\,n-1}. Aqui, com n=4, obtemos f^{\prime}(t)=4t^{3} e, avaliando em t=a, f^{\prime}(a)=4a^{3}.
  • Exemplo numérico rápido para reforçar: se a=2, então f^{\prime}(2)=4\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32. Isso significa que a inclinação da tangente a y=t^{4} em t=2 é 32.
  • Força aí: a técnica padrão na prova é lembrar a definição de derivada e/ou usar a regra do expoente. Se tiver tempo, demonstre rapidamente pelo limite como fizemos; se estiver sem tempo, aplique a regra d(t^{n})/dt = n t^{n-1}.

Resposta

4a^{3}

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