3ª Questão:(2.0). Determine um vetor unitário u, de modo que a derivada direcional da função f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2, no ponto (1,1), na direção de u, seja nula. USANDO GRADIENTE

Passo 1

A função é f(x,y)= (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2). A gente quer achar um vetor unitário u tal que a derivada direcional de f em (1,1) ao longo de u seja zero. Isso cai naquele lance de derivada direcional via gradiente: Duf(1,1) = ∇f(1,1) cdot u.

Passo 2

Pra começar, vamos achar o gradiente ∇f(x,y) = (fx, fy). Usando a regra do quociente,
partial fpartial x = 2x(x^2+y^2) - (x^2 - y^2),2x(x^2+y^2)^2 = 4x,y^2(x^2+y^2)^2,
e
e
[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2y(x2+y2) - (x^2 - y2),2y}{(x2+y2)2} = \frac{-4y,x2}{(x2+y2)2}."]

Passo 3

Agora avaliando em (1,1): como x^2+y^2=2, o denominador (x^2+y^2)^2=4. Logo
∇f(1,1) = l(4cdot1cdot14,;-4cdot1cdot14r) = (1,-1)

Passo 4

A derivada direcional nula significa
∇f(1,1) cdot u = (1,-1)cdot(u1,u2) = u1 - u2 = 0

Passo 5

Além disso, u tem que ser unitário, ou seja
u1^2 + u2^2 = 1

Passo 6

Da equação u1 - u2 = 0 a gente tira u1 = u2. Substituindo na condição de norma: 2u1^2 = 1, vem u1 = pm1/raiz2 e u2=pm1/raiz2 com o mesmo sinal.

Passo 7

Portanto um vetor unitário que funciona é
u = l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
(ou, invertendo o sinal, u = (-1/raiz2,-1/raiz2)).

Resposta

Um vetor unitário com derivada direcional nula em (1,1) é u = (1/raiz2,,1/raiz2).

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