3ª Questão:(2.0). Determine um vetor unitário
, de modo que a derivada direcional da função
, no ponto
, na direção de
, seja nula.
USANDO GRADIENTE
Passo 1
A função é f(x,y)=
. A gente quer achar um vetor unitário u tal que a derivada direcional de f em (1,1) ao longo de u seja zero. Isso cai naquele lance de derivada direcional via gradiente:
.
Passo 2
Pra começar, vamos achar o gradiente
. Usando a regra do quociente,
e
e
[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2y(x2+y2) - (x^2 - y2),2y}{(x2+y2)2} = \frac{-4y,x2}{(x2+y2)2}."]
Passo 3
Agora avaliando em (1,1): como
, o denominador
. Logo
Passo 4
A derivada direcional nula significa
Passo 5
Além disso, u tem que ser unitário, ou seja
Passo 6
Da equação
a gente tira
. Substituindo na condição de norma:
, vem
e
com o mesmo sinal.
Passo 7
Portanto um vetor unitário que funciona é
(ou, invertendo o sinal,
Resposta
Um vetor unitário com derivada direcional nula em (1,1) é
.