Suponha que um tanque contendo líquido tem uma saída perto do fundo. Seja
a altura da superfície do líquido acima da saída no instante
. O princípio de Torricelli diz que a velocidade
do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) quando solta da mesma altura
.
Faça um gráfico da altura em função do tempo
Faça um gráfico da altura em função do tempo
Passo 1
O enunciado pede para obter o comportamento de
, a altura do líquido num tanque que drena, usando o princípio de Torricelli, que dá a velocidade de saída
. Vamos montar e resolver a equação diferencial relacionada à variação de volume.
Passo 2
O volume do líquido no tanque é
, onde
é a área da seção transversal do tanque. Em um pequeno intervalo
, o volume que sai é
, com
área do orifício e
. Logo temos
[A,\frac{dh}{dt} = -a,\sqrt{2g,h};.
Passo 3
Isolando
e
e separando as variáveis:
[\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{a}{A}\sqrt{2g};dt,.
Passo 4
Integramos de
a
, e de
a
:
[\int_{h_0}{h(t)}h{-1/2},dh = -\frac{a}{A}\sqrt{2g}\int_{0}^{t}dt;.
Isso dá
[2\bigl(\sqrt{h(t)}-\sqrt{h_0}\bigr) = -\frac{a}{A}\sqrt{2g};t,.
Passo 5
Resolvendo para
:
$$\sqrt{h(t)} = \sqrt{h_0} - \frac{a}{2A}\sqrt{2g};t
$$
onde o tempo de esvaziamento completo é
[T = \frac{2A}{a\sqrt{2g}},\sqrt{h_0},.
onde o tempo de esvaziamento completo é
[T = \frac{2A}{a\sqrt{2g}},\sqrt{h_0},.
Passo 6
O gráfico de
é então uma parábola voltada para cima (convexa) que parte de
, decresce com derivada negativa, e atinge zero em
.
Resposta
$$h(t) = \Bigl(\sqrt{h_0} - \tfrac{a}{2A}\sqrt{2g};t\Bigr)^2,\quad 0\le t\le T=\tfrac{2A}{a\sqrt{2g}},\sqrt{h_0},.
$$
O gráfico é uma parábola convexa decrescente partindo de em
até
em
.
O gráfico é uma parábola convexa decrescente partindo de