Suponha que um tanque contendo líquido tem uma saída perto do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) quando solta da mesma altura h.
Faça um gráfico da altura em função do tempo

Passo 1

O enunciado pede para obter o comportamento de h(t), a altura do líquido num tanque que drena, usando o princípio de Torricelli, que dá a velocidade de saída v=raiz2gh. Vamos montar e resolver a equação diferencial relacionada à variação de volume.

Passo 2

O volume do líquido no tanque é V = A,h(t), onde A é a área da seção transversal do tanque. Em um pequeno intervalo dt, o volume que sai é dV = -a,v,dt, com a área do orifício e v=raiz2gh. Logo temos
[A,\frac{dh}{dt} = -a,\sqrt{2g,h};.

Passo 3

Isolando dh e dt e separando as variáveis:
[\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{a}{A}\sqrt{2g};dt,.

Passo 4

Integramos de t=0 a t, e de h=h0 a h=h(t):
[\int_{h_0}{h(t)}h{-1/2},dh = -\frac{a}{A}\sqrt{2g}\int_{0}^{t}dt;.
Isso dá
[2\bigl(\sqrt{h(t)}-\sqrt{h_0}\bigr) = -\frac{a}{A}\sqrt{2g};t,.

Passo 5

Resolvendo para h(t):
$$\sqrt{h(t)} = \sqrt{h_0} - \frac{a}{2A}\sqrt{2g};t
raizh(t) = raizh0 - a2Araiz2g;t h(t) = \Bigl(\sqrt{h_0} - \frac{a}{2A}\sqrt{2g};t\Bigr)^2,\quad 0\le t\le T,
$$
onde o tempo de esvaziamento completo é
[T = \frac{2A}{a\sqrt{2g}},\sqrt{h_0},.

Passo 6

O gráfico de h(t) é então uma parábola voltada para cima (convexa) que parte de (0, h0), decresce com derivada negativa, e atinge zero em t=T.

Resposta

$$h(t) = \Bigl(\sqrt{h_0} - \tfrac{a}{2A}\sqrt{2g};t\Bigr)^2,\quad 0\le t\le T=\tfrac{2A}{a\sqrt{2g}},\sqrt{h_0},.
$$
O gráfico é uma parábola convexa decrescente partindo de h(t) = l(raizh0 - tfraca2Araiz2g;tr)^2,, 0<= t<= T=tfrac2Aaraiz2g,raizh0, em h0 até t=0 em h=0.

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