[3.] Resolva a EDO não linear de segunda ordem,
y^{\prime \prime}=\left[\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)\right]^{3 / 2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a equação diferencial de segunda ordem
y'' = \bigl(1+(y')^2\bigr)^{3/2},
onde y é função de x e a derivada primeira é y'=\dfrac{dy}{dx}, a segunda é y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}.
  • O pedido é encontrar a solução geral y(x) da equação (ou as famílias de soluções, com as constantes de integração).
Informações relevantes recebidas:
  • A EDO relaciona y'' apenas com y' (não aparece x nem y explicitamente no lado direito).
  • Não há condição inicial dada: esperamos uma família com duas constantes de integração.

Passo 2

Escolher uma substituição útil e explicar por que funciona.
  • Uma técnica padrão quando o lado direito depende só de y' é definir p(x)=y'(x). Então y''=\dfrac{dp}{dx}.
  • Podemos usar a regra da cadeia para escrever \dfrac{dp}{dx} em função de \dfrac{dp}{dy}. A regra da cadeia diz que, se p for visto como função de y (isto é, p=p(y)), então
\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}.
  • Observação prática: este passo transforma a equação de derivadas em relação a x numa equação em p e y. Isso é legítimo sempre que consideramos ramos onde p pode ser visto como função de y (localmente dá-se bem em soluções lisas). Não se está assumindo que p seja constante; é só uma mudança de variável para facilitar solução.

Passo 3

Substituir e separar variáveis.
  • Substituindo y''=p\,\dfrac{dp}{dy} na EDO original obtemos
p\,\frac{dp}{dy}=\bigl(1+p^2\bigr)^{3/2}.
  • Agora é só separar variáveis p e y. Escrita explícita:
\frac{p}{\bigl(1+p^2\bigr)^{3/2}}\,dp = dy.
  • A equação está prontinha para integrar: integra-se o lado esquerdo em p e o direito em y.

Passo 4

Integrar a equação separada passo a passo (explicando a integral usada).
  • Calculamos a integral
\int \frac{p}{\bigl(1+p^2\bigr)^{3/2}}\,dp.
  • Fazer a substituição auxiliar \;u=1+p^2\; para simplificar. Então du=2p\,dp, logo p\,dp=\dfrac{du}{2}.
  • A integral vira
\int \frac{p}{\bigl(1+p^2\bigr)^{3/2}}\,dp = \int \frac{1}{2} u^{-3/2}\,du.
  • Integramos u^{-3/2}: \displaystyle \int u^{-3/2}\,du = -2 u^{-1/2} + \text{const}. Multiplicando por \tfrac{1}{2} -u^{-1/2} + \text{const}.
  • Substituindo u=1+p^2 de volta, a primitiva é
- (1+p^2)^{-1/2} + C_1.
  • Igualando à primitiva do lado direito \int dy = y + C_2, e juntando as constantes em uma só constante C, obtemos
- (1+p^2)^{-1/2} = y + C.
  • Para simplificar, ponha A := -C. Assim
(1+p^2)^{-1/2} = A - y,
onde A é constante de integração. Note que o membro esquerdo é positivo, logo devemos ter A-y>0 no ramo considerado (isto impõe y<A localmente).

Passo 5

Resolver para p=y' e reduzir a ordem (transformar em separável novamente).
  • A partir de (1+p^2)^{-1/2}=A-y eleva-se ao quadrado:
\frac{1}{1+p^2}=(A-y)^2.
  • Isolando p^2:
1+p^2=\frac{1}{(A-y)^2}\quad\Rightarrow\quad p^2=\frac{1}{(A-y)^2}-1.
  • Tomando raiz (e lembrando das duas escolhas de sinal):
p=\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{\frac{1}{(A-y)^2}-1} =\pm\frac{\sqrt{1-(A-y)^2}}{A-y},
valendo nos pontos onde a raiz é real (isto é, onde 1-(A-y)^2\ge 0).
  • Em vez de integrar dy/dx diretamente, é mais simples inverter e obter dx/dy:
\frac{dx}{dy}=\pm\frac{A-y}{\sqrt{1-(A-y)^2}}.

Passo 6

Integrar dx/dy para obter x em função de y, e finalmente y(x).
  • Faça a mudança u:=A-y. Então du=-dy. Substituindo:
dx = \pm \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,dy = \mp \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du.
  • Calcule a integral
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du.
Use w=1-u^2, dw=-2u\,du, então u\,du=-\tfrac{1}{2}dw. Assim a integral é
\int \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du = -\sqrt{1-u^2} + \text{const}.
  • Voltando para x: integrando dx obtém-se
x + B = \pm \sqrt{1-u^2},
onde B é constante de integração. Relembrando u=A-y, temos
x + B = \pm \sqrt{1-(A-y)^2}.
  • Isolando y:
\sqrt{1-(A-y)^2} = \pm (x+B).
Elevando ao quadrado:
1-(A-y)^2 = (x+B)^2.
Rearranjando,
(A-y)^2 = 1-(x+B)^2.
Tomando raiz e resolvendo para y,
y(x) = A \pm \sqrt{1-(x+B)^2},
onde A e B são constantes arbitrárias de integração. Note a condição de domínio
1-(x+B)^2 \ge 0 \quad\Leftrightarrow\quad |x+B|\le 1,
ou seja, cada solução válida é um arco do círculo de raio 1.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida (intuição).
  • A família de soluções encontrada pode ser escrita de forma geométrica como
(x+B)^2 + (y-A)^2 = 1,
ou seja, arcos de círculos de raio 1 centrados em (-B,A).
  • Verificação rápida (mental): derivando uma vez e duas vezes a forma implicítica de um círculo confirma que y''=(1+(y')^2)^{3/2} se escolhe o sinal apropriado do ramo da raiz.
  • Observação sobre soluções constantes: não existem soluções constantes y\equiv y_0, pois então y''=0 enquanto o lado direito seria 1, contradizendo a EDO.

Resposta

y(x)=A \pm \sqrt{\,1-(x+B)^2\,},
onde A e B são constantes de integração, definidas no intervalo em que 1-(x+B)^2\ge0 (cada solução é um arco do círculo (x+B)^2+(y-A)^2=1).

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