[3.] Resolva a EDO não linear de segunda ordem,
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada a equação diferencial de segunda ordem
onde
é função de
e a derivada primeira é
, a segunda é
.
- O pedido é encontrar a solução geral
da equação (ou as famílias de soluções, com as constantes de integração).
Informações relevantes recebidas:
- A EDO relaciona
apenas com (não aparece nem explicitamente no lado direito). - Não há condição inicial dada: esperamos uma família com duas constantes de integração.
Passo 2
Escolher uma substituição útil e explicar por que funciona.
- Uma técnica padrão quando o lado direito depende só de
é definir . Então . - Podemos usar a regra da cadeia para escrever
em função de . A regra da cadeia diz que, se for visto como função de (isto é, ), então
- Observação prática: este passo transforma a equação de derivadas em relação a
numa equação em e . Isso é legítimo sempre que consideramos ramos onde pode ser visto como função de (localmente dá-se bem em soluções lisas). Não se está assumindo que seja constante; é só uma mudança de variável para facilitar solução.
Passo 3
Substituir e separar variáveis.
- Substituindo
na EDO original obtemos
- Agora é só separar variáveis
e . Escrita explícita:
- A equação está prontinha para integrar: integra-se o lado esquerdo em
e o direito em .
Passo 4
Integrar a equação separada passo a passo (explicando a integral usada).
- Calculamos a integral
- Fazer a substituição auxiliar
para simplificar. Então , logo . - A integral vira
- Integramos
: . Multiplicando por dá . - Substituindo
de volta, a primitiva é
- Igualando à primitiva do lado direito
, e juntando as constantes em uma só constante , obtemos
- Para simplificar, ponha
. Assim
onde
é constante de integração. Note que o membro esquerdo é positivo, logo devemos ter
no ramo considerado (isto impõe
localmente).
Passo 5
Resolver para
e reduzir a ordem (transformar em separável novamente).
- A partir de
eleva-se ao quadrado:
- Isolando
:
- Tomando raiz (e lembrando das duas escolhas de sinal):
valendo nos pontos onde a raiz é real (isto é, onde
).
- Em vez de integrar
diretamente, é mais simples inverter e obter :
Passo 6
Integrar
para obter
em função de
, e finalmente
.
- Faça a mudança
. Então . Substituindo:
- Calcule a integral
Use
,
, então
. Assim a integral é
- Voltando para
: integrando obtém-se
onde
é constante de integração. Relembrando
, temos
- Isolando
:
Elevando ao quadrado:
Rearranjando,
Tomando raiz e resolvendo para
,
onde
e
são constantes arbitrárias de integração. Note a condição de domínio
ou seja, cada solução válida é um arco do círculo de raio
.
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida (intuição).
- A família de soluções encontrada pode ser escrita de forma geométrica como
ou seja, arcos de círculos de raio
centrados em
.
- Verificação rápida (mental): derivando uma vez e duas vezes a forma implicítica de um círculo confirma que
se escolhe o sinal apropriado do ramo da raiz. - Observação sobre soluções constantes: não existem soluções constantes
, pois então enquanto o lado direito seria , contradizendo a EDO.
Resposta
onde
e
são constantes de integração, definidas no intervalo em que
(cada solução é um arco do círculo
).