[4.] Considere a EDO de segunda ordem
y^{\prime \prime}+a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y=b(x)
Fazendo a substituição y^{\prime}=u transformar num sistema 2 \times 2 de EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não necessariamente homogênea:
y'' + a_{1}(x)\,y' + a_{0}(x)\,y = b(x).
O que se pede é transformar essa EDO de segunda ordem em um sistema 2\times2 de EDOs lineares de primeira ordem usando a substituição y' = u. Vou listar claramente o que temos e o que vamos obter:
  • Informações dadas:
    • A função incógnita é y(x).
    • As funções coeficientes são a_{1}(x), a_{0}(x) e o termo fonte b(x).
  • O objetivo:
    • Introduzir uma nova variável para reduzir a ordem e escrever um sistema de duas equações de primeira ordem equivalentes à EDO dada.

Passo 2

Fazer a substituição principal. Defina a nova função
u(x)=y'(x).
Explicando com calma: aqui estou transformando a derivada primeira de y em uma nova incógnita u. Isso é útil porque a derivada de u envolve y'', que aparece na equação original. Assim passamos de uma equação de ordem 2 para um sistema de duas equações de ordem 1.

Passo 3

Escrever as duas equações de primeira ordem. A partir da definição de u temos imediatamente uma equação:
y'(x)=u(x).
Agora substituímos y''(x) na equação original por u'(x). Reescrevendo a equação original:
u'(x)+a_{1}(x)\,u(x)+a_{0}(x)\,y(x)=b(x).
Isolando u'(x) obtemos a segunda equação do sistema:
u'(x)=-a_{1}(x)\,u(x)-a_{0}(x)\,y(x)+b(x).

Passo 4

Colocar o sistema em notação vetorial/matricial (forma padrão para sistemas lineares de primeira ordem). Definindo o vetor incógnita
\mathbf{z}(x)=\begin{pmatrix}y(x)\\[4pt]u(x)\end{pmatrix},
o sistema pode ser escrito como
\mathbf{z}'(x)=A(x)\,\mathbf{z}(x)+\mathbf{f}(x),
onde a matriz A(x) e o vetor não homogêneo \mathbf{f}(x) são
A(x)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -a_{0}(x) & -a_{1}(x)\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{f}(x)=\begin{pmatrix}0\\[4pt] b(x)\end{pmatrix}.
Isso deixa explícito que o sistema é linear de primeira ordem, com coeficientes que podem depender de x.]

Passo 5

Comentário didático sobre por que isso ajuda e como usar no exame. Coisas importantes para decorar e entender:
  • Equivalência: resolver a EDO de segunda ordem é exatamente o mesmo que resolver este sistema; após achar \mathbf{z}(x) recupera-se y(x) como a primeira componente.
  • Classificação: o sistema é linear não homogêneo. Se b(x)\equiv0 o termo \mathbf{f}(x) some e temos sistema homogêneo.
  • Métodos de solução:
    • Se A(x) tem entradas dependentes de x, usa-se a matriz fundamental \Phi(x) que satisfaz \Phi'(x)=A(x)\Phi(x) e então a solução geral é \mathbf{z}(x)=\Phi(x)\left(C+\int \Phi(x)^{-1}\mathbf{f}(x)\,dx\right),onde C é vetor de constantes. Esse é o análogo matricial do método de variação de parâmetros.
    • Se A é constante (coeficientes constantes), resolve-se encontrando autovalores/autovetores de A ou exponencial matricial \mathrm{e}^{A x}.
  • Observação prática para prova: muitas vezes basta escrever o sistema e, dependendo do que pedem, aplicar métodos já conhecidos para sistemas lineares de primeira ordem (autovalores, exponencial matricial, método de variação de constantes).

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (opcional para a prova). Se a equação fosse \,y''+3y'+2y=\sin x, então u=y' dá o sistema
\begin{cases} y' = u,\\[4pt] u' = -3u - 2y + \sin x. \end{cases}
Na forma matricial:
\begin{pmatrix}y\\[4pt]u\end{pmatrix}'= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\[4pt]u\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\\[4pt]\sin x\end{pmatrix}.
Isso mostra de forma concreta como ficarão as equações quando os coeficientes são constantes.]

Resposta

\begin{cases} y'(x)=u(x),\\[6pt] u'(x)=-a_{1}(x)\,u(x)-a_{0}(x)\,y(x)+b(x). \end{cases}
\text{ou, em forma matricial:}\qquad \begin{pmatrix}y\\[4pt]u\end{pmatrix}'= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-a_{0}(x) & -a_{1}(x)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y\\[4pt]u\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0\\[4pt]b(x)\end{pmatrix}.]

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