[4.] Considere a EDO de segunda ordem
Fazendo a substituição
transformar num sistema
de EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não necessariamente homogênea:
O que se pede é transformar essa EDO de segunda ordem em um sistema
de EDOs lineares de primeira ordem usando a substituição
. Vou listar claramente o que temos e o que vamos obter:
- Informações dadas:
- A função incógnita é
. - As funções coeficientes são
, e o termo fonte .
- A função incógnita é
- O objetivo:
- Introduzir uma nova variável para reduzir a ordem e escrever um sistema de duas equações de primeira ordem equivalentes à EDO dada.
Passo 2
Fazer a substituição principal. Defina a nova função
Explicando com calma: aqui estou transformando a derivada primeira de
em uma nova incógnita
. Isso é útil porque a derivada de
envolve
, que aparece na equação original. Assim passamos de uma equação de ordem 2 para um sistema de duas equações de ordem 1.
Passo 3
Escrever as duas equações de primeira ordem. A partir da definição de
temos imediatamente uma equação:
Agora substituímos
na equação original por
. Reescrevendo a equação original:
Isolando
obtemos a segunda equação do sistema:
Passo 4
Colocar o sistema em notação vetorial/matricial (forma padrão para sistemas lineares de primeira ordem). Definindo o vetor incógnita
o sistema pode ser escrito como
onde a matriz
e o vetor não homogêneo
são
Isso deixa explícito que o sistema é linear de primeira ordem, com coeficientes que podem depender de
.]
Passo 5
Comentário didático sobre por que isso ajuda e como usar no exame. Coisas importantes para decorar e entender:
- Equivalência: resolver a EDO de segunda ordem é exatamente o mesmo que resolver este sistema; após achar
recupera-se como a primeira componente. - Classificação: o sistema é linear não homogêneo. Se
o termo some e temos sistema homogêneo. - Métodos de solução:
- Se
tem entradas dependentes de , usa-se a matriz fundamental que satisfaz e então a solução geral é onde é vetor de constantes. Esse é o análogo matricial do método de variação de parâmetros. - Se
é constante (coeficientes constantes), resolve-se encontrando autovalores/autovetores de ou exponencial matricial .
- Se
- Observação prática para prova: muitas vezes basta escrever o sistema e, dependendo do que pedem, aplicar métodos já conhecidos para sistemas lineares de primeira ordem (autovalores, exponencial matricial, método de variação de constantes).
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (opcional para a prova). Se a equação fosse
, então
dá o sistema
Na forma matricial:
Isso mostra de forma concreta como ficarão as equações quando os coeficientes são constantes.]