[4] Um disco condutor de raio e com densidade superficial de carga é colocado com seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas de forma que o plano do disco esteja sobre o plano
a) Calcule o potencial elétrico, num ponto do eixo .
b) Se uma carga de massa é abandonada de , qual será o modulo da velocidade que a carga chegará em .
Passo 1
O enunciado apresenta um disco de raio e densidade superficial de carga , localizado no plano com centro na origem. Pede-se:
a) o potencial elétrico num ponto sobre o eixo ;
b) a velocidade que uma carga , largada em a partir do repouso, terá ao ir para .
Para (a) vamos usar a expressão do potencial de uma distribuição superficial contínua
e modelar o disco como soma de anéis. Para (b) aplicamos conservação de energia eletrostática e cinética.
Passo 2
Considere um anel de raio e espessura no disco. A carga desse anel é
Num ponto do eixo a distância do centro do disco, a distância até cada elemento do anel é
O potencial gerado por esse elemento de carga é
Passo 3
Integramos de a :
Fazendo a substituição , nota-se que
Passo 4
Logo, o potencial em um ponto do eixo x (com V(infty)=0) é
V(x) =sigma2varepsilon0l(raizx^2+a^2-|x|r)
Para x>0 temos |x|=x, ou seja
boxedV(x)=sigma2varepsilon0l(raizx^2+a^2-xr)
Passo 5
Para a parte (b), a carga q largada em x=a parte do repouso. A energia potencial eletrostática inicial é
Ui=q,V(a),
e a final em xtoinfty é Uf=0. Pela conservação de energia