[4] Um disco condutor de raio a e com densidade superficial de carga sigma>0 é colocado com seu centro sobre a origem do sistema de coordenadas de forma que o plano do disco esteja sobre o plano y z
a) Calcule o potencial elétrico, num ponto do eixo x.
b) Se uma carga q>0 de massa m é abandonada de ra=a i, qual será o modulo da velocidade que a carga chegará em rb=+infty i.

Passo 1

O enunciado apresenta um disco de raio a e densidade superficial de carga sigma>0, localizado no plano yz com centro na origem. Pede-se:
a) o potencial elétrico num ponto sobre o eixo x;
b) a velocidade que uma carga q>0, largada em x=a a partir do repouso, terá ao ir para xto+infty.
Para (a) vamos usar a expressão do potencial de uma distribuição superficial contínua
V(r)=integral 14pivarepsilon0,dQR,
e modelar o disco como soma de anéis. Para (b) aplicamos conservação de energia eletrostática e cinética.

Passo 2

Considere um anel de raio r e espessura dr no disco. A carga desse anel é
dQ=sigma,(2pi r,dr)
Num ponto do eixo x a distância do centro do disco, a distância até cada elemento do anel é
R=raizx^2+r^2
O potencial gerado por esse elemento de carga é
dV=14pivarepsilon0,dQraizx^2+r^2 =14pivarepsilon0,sigma,2pi r,drraizx^2+r^2 =sigma2varepsilon0,r,drraizx^2+r^2

Passo 3

Integramos r de 0 a a:
V(x)=integral0^adV =sigma2varepsilon0integral0^ar,drraizx^2+r^2
Fazendo a substituição u=x^2+r^2, nota-se que
integral r,drraizx^2+r^2 =integral du2raizu =raizu|u=x^2^u=x^2+a^2 =raizx^2+a^2-|x|

Passo 4

Logo, o potencial em um ponto do eixo x (com V(infty)=0) é
V(x) =sigma2varepsilon0l(raizx^2+a^2-|x|r)
Para x>0 temos |x|=x, ou seja
boxedV(x)=sigma2varepsilon0l(raizx^2+a^2-xr)

Passo 5

Para a parte (b), a carga q largada em x=a parte do repouso. A energia potencial eletrostática inicial é
Ui=q,V(a),
e a final em xtoinfty é Uf=0. Pela conservação de energia
Ui = Kf Longrightarrow q,V(a)=tfrac12,m,v^2

Passo 6

Calculamos V(a) usando a fórmula de (a):
V(a)=sigma2varepsilon0l(raiza^2+a^2-ar) =sigma2varepsilon0,al(raiz2-1r)
Logo
tfrac12,m,v^2 = q,sigma a2varepsilon0,(raiz2-1) Longrightarrow v=raiz2qm,sigma a2varepsilon0,(raiz2-1) =raizq,sigma,avarepsilon0,m,(raiz2-1)

Resposta

a) V(x)=sigma2varepsilon0l(raizx^2+a^2-xr),;x>0
b) v=raizq,sigma,avarepsilon0,m,(raiz2-1)

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