& v= -30 V & t <= 0 10-10 e^-1.000 t(4 cos 3.000 t+sen 3.000 t) V & t >= 0 & Suponha C=0,5 mu F
b) Determine a corrente no capacitor para t>0.

Passo 1

Beleza! A questão tá em regime v(t)=10-10,e^-1000tl(4cos(3000t)+sen(3000t)r) e temos a tensão no capacitor
com . O que a gente quer é a corrente nesse capacitor pra .
Conteúdo: relação capacitor tensão–corrente ( ) e derivadas de produtos, exponencial, cosseno e seno.

Passo 2

Teoria rapidinha: a lei do capacitor diz que
i(t)=C;dv(t)dt
Ou seja, a gente vai derivar em e multiplicar por .

Passo 3

Vamos derivar
  1. A derivada de 10 é 0.
  2. Para v(t)=10-10,e^-1000tl(4cos(3000t)+sen(3000t)r) usamos regra do produto:
ddtl(e^-1000tu(t)r) =e^-1000t,u'(t)+u(t),(e^-1000t)',
onde
.
  • ddtl(e^-1000tu(t)r) =e^-1000tl(-12000sen(3000t)+3000cos(3000t)r) -1000e^-1000tl(4cos(3000t)+sen(3000t)r) .
  • .
Então
Multiplicando tudo por dvdt =-10l[dotsr] =10,000,e^-1000tl(4cos+ senr) +10,e^-1000tl(12000sen-3000cosr) (do termo original) dá

Passo 4

Agora é só juntar termos que têm dvdt =e^-1000tl(10,000cos(3000t)+130,000sen(3000t)r) e :
  • Em : .
  • Em : .
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Passo 5

Multiplica pela capacitância i(t) =C,dvdt =0,5times10^-6,e^-1000t l(10,000cos(3000t)+130,000sen(3000t)r) :
Fazendo as contas:
0,5times10^-6times10,000=5times10^-3, 0,5times10^-6times130,000=6,5times10^-2

Resposta

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