& v= -30 V & t <= 0 10-10 e^-1.000 t(4 cos 3.000 t+sen 3.000 t) V & t >= 0 & Suponha C=0,5 mu F
d) Há uma variação instantânea da corrente no capacitor em t=0?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é de Circuitos, mais especificamente a dinâmica de um capacitor. Nos deram a tensão no capacitor:
v(t)= -30 V, & t<=0, 10-10e^-1000tl(4cos(3000t)+sin(3000t)r) V,& t>=0,
e a capacitância C=0,5;muF. A pergunta (d) é: “Há variação instantânea da corrente no capacitor em t=0?”
Para responder isso precisamos lembrar da teoria do capacitor:
– A corrente no capacitor é dada por iC(t)=Cdv(t)dt
Se dvdt “pular” em t=0, então iC pula também.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se v(t) é contínua em t=0, só pra confirmar que não é a tensão que está saltando:
  • Para tto0^-, v(0^-)=-30 V.
  • Para tto0^+, v(0^+)=10-10e^0l(4cos0+sin0r)=10-10cdot(4cdot1+0)=10-40=-30 V
    Logo, v é contínua (fica em -30,V antes e depois).

Passo 3

Agora precisamos da derivada de v(t) de cada lado em t=0.
  1. Para t<0, v(t)=-30,V, ou seja constante. dvdt|0^-=0
    2) Para t>0,
    v(t)=10-10,e^-1000tl(4cos(3000t)+sin(3000t)r)Vamos derivar a parte A(t)=e^-1000t(4cos(3000t)+sin(3000t)).
    Pela regra do produto e cadeia: A'(t)=e^-1000tl[-1000(4cos3000t+sin3000t)+(4cdot(-3000sin3000t)+3000cos3000t)r]
    Em t=0 isso fica
    A'(0) = 1l[-1000(4cdot1+0)+(0+3000cdot1)r] = -1000cdot4+3000 = -4000+3000 = -1000Então dvdt|0^+ = -10cdot A'(0) = -10cdot(-1000)=10000;V/s

Passo 4

Agora a corrente do capacitor:
iC(t)=C,dvdt(t)
Em t=0^-:
iC(0^-)=0,5times10^-6,Ftimes0=0;A
Em t=0^+:
iC(0^+)=0,5times10^-6,Ftimes10000;V/s=0,5times10^-6times10^4=5times10^-3;A

Resposta

Sim. A corrente dá um salto instantâneo de 0,A para 5,mA em t=0, porque dvdt “pula” de 0 para 10^4,V/s.

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