30.4 Benzeno líquido puro \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}\right) a 290 K escoa na forma de um filme fino ao longo da área externa de um cilindro vertical de 0,08 \mathrm{~m} de diâmetro a uma taxa mássica de 4,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}. Ar seco, a 290 K e 1,0 \mathrm{~atm}, escoa na direção perpendicular ao cilindro a uma velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O benzeno líquido exerce uma pressão de vapor de 8100 Pa . Determine o comprimento do cilindro se a superfície externa inteira do cilindro for usada para o processo de evaporação e todo o benzeno que escoa ao longo do cilindro evaporar. Suponha que o ar ambiente serve como um sorvedouro infinito para transferência de massa.

Passo 1

O enunciado descreve a evaporação de benzeno líquido puro \bigl(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_6\bigr) num filme fino que escorre sobre um cilindro vertical de diâmetro D=0,08\\ \mathrm{m}. A vazão mássica de benzeno é \dot m = 4{,}0\\ \mathrm{kg/h}, que equivale a
\dot m = \frac{4{,}0}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 1{,}11\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.
O ar seco atravessa o cilindro perpendicularmente a v=4{,}0\\ \mathrm{m/s}, a T=290\\ \mathrm{K} e p=1{,}0\\ \mathrm{atm}, e o benzeno na superfície tem pressão de vapor p_s=8100\\ \mathrm{Pa}.
Conteúdo: transferência de massa por convecção a partir de um cilindro em escoamento cruzado. Vamos precisar de:
  1. Cálculo de Re_D e Sc.
  2. Correlação de Sherwood para cilindro em escoamento cruzado.
  3. Coeficiente de transferência de massa k_c.
  4. Concentração de benzeno na superfície c_s.
  5. Fluxo mássico evaporado e comprimento necessário L.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds e o número de Schmidt no ar.
Adotamos propriedades do ar a 290\\ \mathrm{K}:
\rho_{\mathrm{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3},
\mu=1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Para a difusividade do benzeno no ar, tomamos
D_{AB}=1{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Então
Re_D = \frac{\rho_{\mathrm{ar}}\,v\,D}{\mu} = \frac{1{,}2\cdot4{,}0\cdot0{,}08}{1{,}85\times10^{-5}} \approx2{,}08\times10^{4},
Sc = \frac{\mu/\rho_{\mathrm{ar}}}{D_{AB}} = \frac{1{,}85\times10^{-5}/1{,}2}{1{,}4\times10^{-5}} \approx1{,}10.

Passo 3

Usamos a correlação análoga à de Churchill–Bernstein para um cilindro em escoamento cruzado:
Sh_D = 0{,}3 + 0{,}62\,Re_D^{1/2}\,Sc^{1/3}.
Calculando
Re_D^{1/2}=(2{,}08\times10^4)^{1/2}\approx144{,}2, \quad Sc^{1/3}\approx1{,}10^{1/3}\approx1{,}03,
Sh_D = 0{,}3 + 0{,}62\cdot144{,}2\cdot1{,}03 \approx0{,}3 + 92{,}0 = 92{,}3.
O coeficiente de transferência de massa é
k_c = \frac{Sh_D\,D_{AB}}{D} = \frac{92{,}3\cdot1{,}4\times10^{-5}}{0{,}08} \approx1{,}62\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a concentração de benzeno na interface ar–liquido a T=290\\ \mathrm{K}:
c_s = \frac{p_s}{R\,T} = \frac{8100}{8{,}314\cdot290} \approx3{,}36\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 5

Calcular o fluxo molar e depois mássico evaporado por unidade de área:
N_A = k_c\,c_s = 1{,}62\times10^{-2}\cdot3{,}36 \approx5{,}44\times10^{-2}\\ \mathrm{mol/m^2\!/s}.
Convertendo em fluxo mássico ( M_{\mathrm{C_6H_6}}=78{,}11\\ \mathrm{g/mol}):
j = N_A\,M_{\mathrm{C_6H_6}} =5{,}44\times10^{-2}\cdot0{,}07811 \approx4{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m^2\!/s}.

Passo 6

A área externa do cilindro por comprimento L é A=\pi\,D\,L. Como todo benzeno deve evaporar, equacionamos
j\,A = \dot m \quad\Longrightarrow\quad 4{,}25\times10^{-3}\,\bigl(\pi\cdot0{,}08\cdot L\bigr) =1{,}11\times10^{-3}.
Então
L = \frac{1{,}11\times10^{-3}}{4{,}25\times10^{-3}\,\pi\,0{,}08} \approx0{,}98\\ \mathrm{m}.

Resposta

O comprimento do cilindro deve ser, aproximadamente, 1{,}0\\ \mathrm{m}.

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