Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê.
b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (As quantidades a e b são constantes.)
(1) \vec{V}=\left[a y^{2} e^{-b r}\right] \hat{i}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
\vec{V} = \bigl[a\,y^{2}\,e^{-b\,r}\bigr]\hat{i}
com a e b constantes, e pede:
a) se o escoamento é uni, bi ou tridimensional;
b) se o escoamento é permanente ou transiente.
Para responder, vamos usar a definição de dimensão de um escoamento (número de coordenadas espaciais das quais \vec{V} depende) e a definição de regime permanente (dependência temporal nula).

Passo 2

Precisamos ver de quais variáveis espaciais \vec{V} depende. Aqui aparece y e a distância radial
r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}},
logo o fator e^{-b\,r} faz \vec{V} depender de x, y e z. Portanto são três coordenadas espaciais.

Passo 3

Como \vec{V} não apresenta nenhuma dependência explícita do tempo t (aparecem apenas constantes a e b), temos
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0,
ou seja, o escoamento é permanente.

Resposta

a) Tridimensional, pois \vec{V} depende de x, y e z (via r).
b) Permanente, pois não há dependência explícita em t.

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