Em 30 bezerros nascidos, 60 \% foi do sexo feminino. Calcular o valor esperado e o desvio padrão esperado.

Passo 1

O enunciado diz que nasceram 30 bezerros e que 60\% deles são do sexo feminino. Ele pede dois valores: o valor esperado (esperança matemática) do número de bezerros fêmeas e o desvio padrão esperado desse número.
Dados fornecidos (listados explicitamente):
n = 30,\quad \text{probabilidade de fêmea} = 60\% = 0,6.ê
Perguntas a responder:
  1. Qual o valor esperado do número de fêmeas?
  2. Qual o desvio padrão desse número?

Passo 2

Como vamos modelar o problema (explicando didaticamente): cada nascimento tem duas possibilidades relevantes aqui — fêmea ou não fêmea (macho) — e a informação dada é a probabilidade de ser fêmea ser sempre 0,6. Portanto é natural modelar cada nascimento como uma variável de Bernoulli: uma variável que vale 1 se o bezerro for fêmea e 0 caso contrário. Se chamarmos essas variáveis por X_1,X_2,\dots,X_{30}, o número total de fêmeas é
X = \sum_{i=1}^{30} X_i.
Quando somamos n variáveis Bernoulli independentes com mesma probabilidade p obtemos uma distribuição binomial. Assim escolhemos o modelo
X \sim \text{Bin}(n,p) \quad\text{com}\quad n=30,\; p=0,6.
Escolhemos esse modelo porque é o mais simples e usual para contar sucessos (aqui: fêmeas) em n tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso.

Passo 3

Fórmulas importantes e por que elas valem (aula rápida):
  • Se X\sim\text{Bin}(n,p), a esperança (valor esperado) é
E(X)=n p.
Explicação: cada X_i tem E(X_i)=p. A soma de esperanças é a esperança da soma, logo E(X)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=np.
  • A variância é
\operatorname{Var}(X)=n p(1-p).
Explicação: cada X_i tem \operatorname{Var}(X_i)=p(1-p). Como os X_i são (supostamente) independentes, variâncias somam, então \operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)=np(1-p).
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.
Essas fórmulas são padrão e muito úteis em provas: memorize E(X)=np e \operatorname{Var}(X)=np(1-p).

Passo 4

Calcular o valor esperado usando a fórmula:
E(X)=n p = 30 \cdot 0,6.
Fazendo a multiplicação (passo a passo): 30\cdot 0,6 = 30\cdot\frac{6}{10} = 3\cdot 6 = 18. Portanto
E(X)=18.
Interpretação rápida: em média espera-se 18 bezerros fêmeas dentre os 30.

Passo 5

Calcular a variância usando a fórmula:
\operatorname{Var}(X)=n p(1-p) = 30\cdot 0,6\cdot(1-0,6).
Calcule 1-0,6 = 0,4. Então
\operatorname{Var}(X)=30\cdot 0,6\cdot 0,4.
Fazendo a conta: 30\cdot 0,6 = 18 e 18\cdot 0,4 = 7,2. Logo
\operatorname{Var}(X)=7,2.

Passo 6

Calcular o desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Primeiro escrevemos a forma exata:
7,2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5},
logo
\sigma(X)=\sqrt{7,2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}.
Valor numérico aproximado (útil para interpretação em prova):
\sigma(X)=\sqrt{7,2}\approx 2,683.
Interpretação: tipicamente o número de fêmeas vai variar cerca de 2,683 em torno de 18 (isso é uma medida de dispersão).

Passo 7

Resumo e dica para a prova: responda rapidamente indicando o modelo binomial e aplique as fórmulas E(X)=np e \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}. Se pedir só valor esperado e desvio padrão, apresente 18 e \approx 2,683. Vai dar certo — respire e confie no processo!

Resposta

E(X)=18
\sigma(X)=\sqrt{7,2}\approx 2,683

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