Em 30 bezerros nascidos,
foi do sexo feminino. Calcular o valor esperado e o desvio padrão esperado.
Passo 1
O enunciado diz que nasceram
bezerros e que
deles são do sexo feminino. Ele pede dois valores: o valor esperado (esperança matemática) do número de bezerros fêmeas e o desvio padrão esperado desse número.
Dados fornecidos (listados explicitamente):
Dados fornecidos (listados explicitamente):
Perguntas a responder:
- Qual o valor esperado do número de fêmeas?
- Qual o desvio padrão desse número?
Passo 2
Como vamos modelar o problema (explicando didaticamente): cada nascimento tem duas possibilidades relevantes aqui — fêmea ou não fêmea (macho) — e a informação dada é a probabilidade de ser fêmea ser sempre
. Portanto é natural modelar cada nascimento como uma variável de Bernoulli: uma variável que vale
se o bezerro for fêmea e
caso contrário. Se chamarmos essas variáveis por
, o número total de fêmeas é
Quando somamos
variáveis Bernoulli independentes com mesma probabilidade
obtemos uma distribuição binomial. Assim escolhemos o modelo
Escolhemos esse modelo porque é o mais simples e usual para contar sucessos (aqui: fêmeas) em
tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso.
Passo 3
Fórmulas importantes e por que elas valem (aula rápida):
- Se
, a esperança (valor esperado) é
Explicação: cada
tem
. A soma de esperanças é a esperança da soma, logo
.
- A variância é
Explicação: cada
tem
. Como os
são (supostamente) independentes, variâncias somam, então
.
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Essas fórmulas são padrão e muito úteis em provas: memorize
e
.
Passo 4
Calcular o valor esperado usando a fórmula:
Fazendo a multiplicação (passo a passo):
. Portanto
Interpretação rápida: em média espera-se
bezerros fêmeas dentre os
.
Passo 5
Calcular a variância usando a fórmula:
Calcule
. Então
Fazendo a conta:
e
. Logo
Passo 6
Calcular o desvio padrão: é a raiz quadrada da variância. Primeiro escrevemos a forma exata:
logo
Valor numérico aproximado (útil para interpretação em prova):
Interpretação: tipicamente o número de fêmeas vai variar cerca de
em torno de
(isso é uma medida de dispersão).
Passo 7
Resumo e dica para a prova: responda rapidamente indicando o modelo binomial e aplique as fórmulas
e
. Se pedir só valor esperado e desvio padrão, apresente
e
. Vai dar certo — respire e confie no processo!