Numa sala com 10 homens e 20 mulheres, sorteia-se um indivíduo, observando o sexo (masculino ou feminino). Construa o modelo probabilístico.
Passo 1
O enunciado pede para “construir o modelo probabilístico” de um experimento simples. Informações dadas: temos
homens e
mulheres numa sala e sorteia-se um indivíduo ao acaso, observando apenas o sexo (masculino ou feminino).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
homens,
mulheres, total de indivíduos
.
A pergunta implícita: qual é o espaço amostral e quais são as probabilidades associadas aos resultados “homem” e “mulher”?
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A pergunta implícita: qual é o espaço amostral e quais são as probabilidades associadas aos resultados “homem” e “mulher”?
Passo 2
Explicando o que é um “modelo probabilístico” de forma bem prática: para um experimento aleatório simples (como sortear uma pessoa), o modelo mais usado é o triplo
, onde:
é o conjunto de todos os resultados possíveis (espaço amostral),
é a coleção de eventos que vamos considerar (aqui, para situações simples, tomamos todos os subconjuntos de
),
é a função que dá a probabilidade de cada evento.
Nesse problema vamos escolher pequeno (apenas os sexos observados) e definir
com base na contagem dos indivíduos.
Nesse problema vamos escolher
Passo 3
Justificativa do pressuposto de probabilidades: quando se sorteia “ao acaso” um indivíduo e não há indicação de viés, assumimos que cada pessoa tem igual chance de ser escolhida. Assim, a probabilidade de obter um homem é a razão entre o número de homens e o total de pessoas, e o mesmo para mulheres. Essa é uma regra intuitiva e muito usada em probabilidade discreta: se há
resultados igualmente prováveis e um evento contém
desses resultados, então a probabilidade do evento é
.
Passo 4
Aplicando a regra ao caso concreto: o total de pessoas é
O número de homens é
logo a probabilidade de sortear um homem é
O número de mulheres é
logo a probabilidade de sortear uma mulher é
Passo 5
Verificação rápida da consistência: as probabilidades dos resultados elementares devem somar
. Aqui:
portanto está tudo certo.
Passo 6
Formalizando o modelo probabilístico (passo a passo didático sobre cada componente):
- Espaço amostral:
, onde significa “masculino” e significa “feminino”. - Tribo (coleção de eventos):
— todos os subconjuntos de . - Medida de probabilidade
: definida em eventos elementares por
e estendida a
de forma natural (por exemplo
,
,
).
Passo 7
Observação prática para a prova (como fazer rápido): ao ver “sorteia-se uma pessoa”, conte quantos desejados e divida pelo total. Se pedirem probabilidades de eventos mais complexos (por exemplo “ser mulher ou ter alguma outra característica”), primeiro conte quantos indivíduos satisfazem o evento e divida por
. Essa é a técnica direta e normalmente suficiente quando a escolha é aleatória entre indivíduos.