Numa sala com 10 homens e 20 mulheres, sorteia-se um indivíduo, observando o sexo (masculino ou feminino). Construa o modelo probabilístico.

Passo 1

O enunciado pede para “construir o modelo probabilístico” de um experimento simples. Informações dadas: temos 10 homens e 20 mulheres numa sala e sorteia-se um indivíduo ao acaso, observando apenas o sexo (masculino ou feminino).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\;10 homens, \;20 mulheres, total de indivíduos \;30.
A pergunta implícita: qual é o espaço amostral e quais são as probabilidades associadas aos resultados “homem” e “mulher”?

Passo 2

Explicando o que é um “modelo probabilístico” de forma bem prática: para um experimento aleatório simples (como sortear uma pessoa), o modelo mais usado é o triplo (\Omega,\mathcal{F},P), onde:
\Omega é o conjunto de todos os resultados possíveis (espaço amostral),
\mathcal{F} é a coleção de eventos que vamos considerar (aqui, para situações simples, tomamos todos os subconjuntos de \Omega),
P é a função que dá a probabilidade de cada evento.
Nesse problema vamos escolher \Omega pequeno (apenas os sexos observados) e definir P com base na contagem dos indivíduos.

Passo 3

Justificativa do pressuposto de probabilidades: quando se sorteia “ao acaso” um indivíduo e não há indicação de viés, assumimos que cada pessoa tem igual chance de ser escolhida. Assim, a probabilidade de obter um homem é a razão entre o número de homens e o total de pessoas, e o mesmo para mulheres. Essa é uma regra intuitiva e muito usada em probabilidade discreta: se há n resultados igualmente prováveis e um evento contém k desses resultados, então a probabilidade do evento é k/n.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso concreto: o total de pessoas é
30.
O número de homens é
10,
logo a probabilidade de sortear um homem é
P(\text{homem})=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}.
O número de mulheres é
20,
logo a probabilidade de sortear uma mulher é
P(\text{mulher})=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Verificação rápida da consistência: as probabilidades dos resultados elementares devem somar 1. Aqui:
\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1,
portanto está tudo certo.

Passo 6

Formalizando o modelo probabilístico (passo a passo didático sobre cada componente):
  • Espaço amostral: \Omega=\{M,F\}, onde M significa “masculino” e F significa “feminino”.
  • Tribo (coleção de eventos): \mathcal{F}=\{\emptyset,\{M\},\{F\},\Omega\} — todos os subconjuntos de \Omega.
  • Medida de probabilidade P: definida em eventos elementares por
P(\{M\})=\frac{10}{30}=\frac{1}{3},\qquad P(\{F\})=\frac{20}{30}=\frac{2}{3},
e estendida a \mathcal{F} de forma natural (por exemplo P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1, P(\{M,F\})=1).

Passo 7

Observação prática para a prova (como fazer rápido): ao ver “sorteia-se uma pessoa”, conte quantos desejados e divida pelo total. Se pedirem probabilidades de eventos mais complexos (por exemplo “ser mulher ou ter alguma outra característica”), primeiro conte quantos indivíduos satisfazem o evento e divida por 30. Essa é a técnica direta e normalmente suficiente quando a escolha é aleatória entre indivíduos.

Resposta

\Omega=\{M,F\}
\mathcal{F}=\{\emptyset,\{M\},\{F\},\Omega\}
P(\{M\})=\frac{10}{30}=\frac{1}{3},\qquad P(\{F\})=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}

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