07 - Numa área dividida em quadrantes de 0,50 \mathrm{~m}^{2}, foram encontradas em média 2,5 espécimes.
(a) qual é o modelo de probabilidade adequado para esse exemplo?
(b) as suposições do modelo são atendidas?
(c) qual a probabilidade de encontrar exatamente 4 espécimes em um quadrante?
(d) qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 espécime em um quadrante?
(e) qual a probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área delimitada por 4 quadrantes?
(f) qual a probabilidade de encontrar 5 espécimes em um quadrante, sabendo que foram encontradas mais de duas espécimes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo para não perder o foco):
  • Informação dada: em cada quadrante de 0,50\\ \mathrm{m}^2 foram encontradas, em média, 2,5 espécimes (ou seja, a média é 2,5 por quadrante).
  • Perguntas:
    (a) qual é o modelo de probabilidade adequado para esse exemplo?
    (b) as suposições do modelo são atendidas?
    (c) qual a probabilidade de encontrar exatamente 4 espécimes em um quadrante?
    (d) qual a probabilidade de encontrar no máximo 1 espécime em um quadrante?
    (e) qual a probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área delimitada por 4 quadrantes?
    (f) qual a probabilidade de encontrar 5 espécimes em um quadrante, sabendo que foram encontradas mais de duas espécimes?

Passo 2

Escolhendo o modelo: vou explicar o modelo que costuma ser usado nesses problemas e por que é adequado.
  • Quando contamos número de ocorrências (espécimes) em uma região fixa, e a informação disponível é a média de ocorrências por região, um modelo natural é a distribuição que descreve contagens discretas com parâmetro de média \lambda. A fórmula desse modelo (a chamada função massa de probabilidade) é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde X é a variável aleatória que conta o número de espécimes, k é um inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots), \lambda é a média esperada de ocorrências na região considerada, e é a base dos logaritmos naturais, e k! é o fatorial de k.
  • Esse é o modelo que vamos usar. Mais adiante eu mostro os cálculos com \lambda específico. Não vou ainda responder se as suposições são atendidas — isso vem no próximo passo.

Passo 3

Verificando as suposições do modelo (resposta à parte (b)) e definindo \lambda por quadrante:
  • As suposições implícitas para usar esse modelo são, em linguagem simples:
    1. ocorrências são contáveis e não ocorrem em “pacotes” grandes (ou seja, são eventos individuais);
    2. a taxa média de ocorrência por unidade de área é constante (mesma média por quadrante igual de tamanho);
    3. ocorrências em regiões disjuntas são independentes;
    4. a probabilidade de duas ou mais ocorrências caindo exatamente no mesmo ponto é desprezível (modelo de eventos raros).
  • No problema temos a média dada por quadrante: \lambda_{\text{quadrante}}=2,5. Isso quer dizer que, para cada quadrante de 0,50\\ \mathrm{m}^2, a média esperada é \lambda=2,5.
  • Avaliando qualitativamente se as suposições são atendidas: a informação fornecida (média por quadrante, contagem de espécimes) e a natureza do problema (contagem por área) tornam as suposições razoáveis — ou seja, podemos aceitar que as suposições são atendidas salvo indicação contrária no enunciado (por exemplo, se as espécimes se agrupassem fortemente ou houvesse efeitos de dependência espacial, aí não). Portanto, na prática para o exercício: as suposições são atendidas (resposta breve: sim).

Passo 4

Cálculo da probabilidade de exatamente 4 espécimes em um quadrante (item (c)).
  • Usamos a fórmula do modelo com \lambda=2,5 e k=4:
P(X=4)=\frac{(2,5)^{4} e^{-2,5}}{4!}.
  • Calculemos passo a passo:
    • (2,5)^{2}=6,25.
    • (2,5)^{4}=(6,25)^{2}=39,0625.
    • 4!=24.
    • A razão \dfrac{(2,5)^{4}}{4!}=\dfrac{39,0625}{24}=1,627604166\dots.
    • e^{-2,5} (valor aproximado) =0,08208499862\dots.
    • Multiplicando: P(X=4)\approx 1,627604166\times 0,08208499862\approx 0,1336 (arredondado a quatro casas decimais).
  • Conclusão: P(X=4)\approx 0,1336.

Passo 5

Cálculo da probabilidade de no máximo 1 espécime em um quadrante (item (d)).
  • “No máximo 1” significa X\le 1, isto é P(X=0)+P(X=1).
  • Calculemos P(X=0) e P(X=1) com \lambda=2,5:
    • P(X=0)=\dfrac{(2,5)^{0} e^{-2,5}}{0!}=e^{-2,5}\approx 0,08208499862.
    • P(X=1)=\dfrac{(2,5)^{1} e^{-2,5}}{1!}=2,5\,e^{-2,5}\approx 2,5\times 0,08208499862\approx 0,2052124966.
  • Somando:
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)\approx 0,082085+0,2052125\approx 0,2872975.
  • Arredondando: P(X\le 1)\approx 0,2873.

Passo 6

Probabilidade de encontrar 1 espécime em uma área de 4 quadrantes (item (e)).
  • Regra importante: para áreas disjuntas e homogeneidade da taxa, o parâmetro médio é aditivo. Se cada quadrante tem média \lambda_{\text{q}}=2,5, então 4 quadrantes têm média
\lambda_{4\\ \text{quadrantes}} = 4\times 2,5 = 10.
  • Assim, para a área com 4 quadrantes usamos a mesma fórmula do modelo com \lambda=10 e k=1:
P(X=1)=\frac{10^{1} e^{-10}}{1!}=10\,e^{-10}.
  • Valor numérico: e^{-10}\approx 4{,}539992976\times 10^{-5}=0,00004539992976. Multiplicando por 10 obtemos
P(X=1)\approx 0,0004539993.
  • Arredondando: P(X=1)\approx 0,0004540.

Passo 7

Probabilidade condicional: P(X=5 \mid X>2) em um quadrante (item (f)).
  • Fórmula de probabilidade condicional:
P(X=5\mid X>2)=\frac{P(X=5\\ \text{e}\\ X>2)}{P(X>2)}=\frac{P(X=5)}{P(X>2)},
porque o evento X=5 já implica X>2. Portanto precisamos de P(X=5) e P(X>2)=1-P(X\le 2).
  • Primeiro calculamos P(X=5) com \lambda=2,5:
P(X=5)=\frac{(2,5)^{5} e^{-2,5}}{5!}.
Cálculo passo a passo:
  • (2,5)^{5}=2,5\times 39,0625=97,65625.
  • 5!=120.
  • \dfrac{(2,5)^{5}}{5!}=\dfrac{97,65625}{120}=0,8138020833\dots.
  • Multiplicando por e^{-2,5}\approx 0,08208499862
P(X=5)\approx 0,8138020833\times 0,08208499862\approx 0,066800\\ (\text{aprox.}).
  • Agora P(X\le 2)=P(0)+P(1)+P(2). Já tínhamos P(0) e P(1); falta P(2):
    • P(2)=\dfrac{(2,5)^{2} e^{-2,5}}{2!}=\dfrac{6,25}{2}\,e^{-2,5}=3,125\,e^{-2,5}.
    • Numérico: 3,125\times 0,08208499862\approx 0,2565153088.
  • Somando:
    • P(X\le 2)\approx 0,082085+0,2052125+0,2565153\approx 0,5438128 (pequenas diferenças de arredondamento são aceitáveis).
  • Então P(X>2)=1-P(X\le 2)\approx 1-0,5438128\approx 0,4561872.
  • Finalmente a condicional:
P(X=5\mid X>2)=\frac{0,066800}{0,4561872}\approx 0,1464.
  • Arredondando: P(X=5\mid X>2)\approx 0,1464.

Resposta

(a) Distribuição de Poisson com \lambda=2,5 por quadrante.
(b) Sim — as suposições do modelo (taxa média constante por quadrante, independência entre quadrantes, eventos contáveis/raros) são razoavelmente atendidas.
(c) 0,1336
(d) 0,2873
(e) 0,0004540
(f) 0,1464

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