P3.30 Considere um circuito retificador em ponte com um capacitor de filtro C ligado em paralelo com o resistor de carga R, para o caso em que o secundário do transformador fornece uma senóide de 12 V (rms), tendo uma freqüência de 60 Hz e supondo V_{D 0}=0,8 \mathrm{~V} e uma resistência de carga R=100 \Omega. Calcule o valor de C que resulta em uma tensão de ondulação máxima de 1 V pico a pico. Qual a tensão c c na saída? Calcule a corrente na carga. Encontre o ângulo de condução do diodo. Qual a corrente média no diodo? Qual a tensão de pico inversa em cada diodo? Especifique o diodo em termos de sua corrente de pico e de sua PIV.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado).
Dados:
  • Tensão no secundário do transformador: 12\\ \text{V (rms)}.
  • Frequência: 60\\ \text{Hz}.
  • Queda direta em cada diodo: V_{D0}=0,8\\ \text{V}.
  • Resistência de carga: R=100\\ \Omega.
  • Deseja-se uma ondulação máxima (ripple) de \Delta V=1\\ \text{V}_{\text{p-p}} na saída do filtro capacitor paralelo com R.
  • Circuito: retificador em ponte (full-wave bridge) seguido de capacitor de filtro C em paralelo com R.
O enunciado pede:
  1. Calcular o valor de C que resulta em \Delta V=1\\ \text{V}_{\text{p-p}}.
  2. A tensão contínua (valor DC) na saída.
  3. A corrente na carga.
  4. O ângulo de condução do(s) diodo(s).
  5. A corrente média no diodo.
  6. A tensão de pico inversa (PIV) em cada diodo.
  7. Especificar o diodo em termos de corrente de pico e PIV.

Passo 2

Primeiro transformo a tensão RMS do secundário em valor de pico da senóide. Explicação curta: a relação entre valor eficaz (rms) e pico para uma senoide é \,V_p=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}\,. Portanto:
V_p=\sqrt{2}\cdot 12.
Calculemos numericamente:
V_p=\sqrt{2}\cdot 12\approx 16{,}9706\\ \text{V}.
Esse é o pico da tensão do secundário (antes dos diodos).

Passo 3

No retificador em ponte, no momento de carga do capacitor a tensão que aparece no capacitor (no pico) é a tensão de pico do secundário menos a queda em dois diodos em série (porque a corrente atravessa dois diodos na ponte). Então o pico disponível para carregar o capacitor é
V_{p}' = V_p - 2V_{D0}.
Substituindo os números:
V_{p}'=16{,}9706 - 2\cdot 0{,}8 = 16{,}9706 - 1{,}6 = 15{,}3706\\ \text{V}.
Esse é o valor máximo que o capacitor alcança no carregamento (valor de pico no capacitor).

Passo 4

Agora precisamos relacionar a ondulação desejada \Delta V com C. Vou explicar a ideia física e a fórmula usada:
  • Em um retificador full-wave (ponte) com capacitor de filtro, a frequência das cristas que recarregam o capacitor é o dobro da frequência da rede, ou seja f_r = 2f. Aqui f=60\\ \text{Hz} então f_r=120\\ \text{Hz}. Isso ocorre porque o retificador full-wave gera um pico a cada meia-onda.
  • Entre duas recargas sucessivas (entre dois picos) o capacitor fornece a corrente de carga à resistência R e sua tensão decai de V_{\text{max}} até V_{\text{min}}=V_{\text{max}}-\Delta V. Para ripple pequeno (caso típico), essa descarga pode ser aproximada por uma descarga linear de corrente quase constante I_{R}\approx V_{\text{DC}}/R durante o intervalo entre picos.
  • A carga total (carga elétrica) retirada do capacitor entre picos é Q = C\Delta V. Essa carga corresponde ao tempo entre picos multiplicado pela corrente que flui do capacitor (aproximadamente I_{R}). Como os picos ocorrem a f_r,
Q = C\Delta V \approx I_R \cdot \frac{1}{f_r}.
  • Isolando C obtemos a fórmula prática muito usada:
\Delta V \approx \frac{I_R}{C f_r} \quad\Longrightarrow\quad C \approx \frac{I_R}{\Delta V \, f_r}.
  • Para ser um pouco mais preciso (levando em conta que I_R depende da tensão média V_{DC} que é próxima a V_{p}' - \tfrac{\Delta V}{2}), usamos:
V_{DC}\approx V_{p}' - \frac{\Delta V}{2},\qquad I_R=\frac{V_{DC}}{R}.
Substituindo em \Delta V = I_R/(C f_r) e isolando C resulta
C = \frac{V_{p}' - \tfrac{\Delta V}{2}}{R\,\Delta V\, f_r}.
Essa fórmula é prática e dá uma boa estimativa sem iteração complicada.

Passo 5

Agora aplico a fórmula com os números:
  • V_{p}'=15{,}3706\\ \text{V} (do Passo 3).
  • \Delta V = 1\\ \text{V}.
  • R=100\\ \Omega.
  • f_r = 2f = 120\\ \text{Hz}.
C = \frac{15{,}3706 - \tfrac{1}{2}}{100\cdot 1 \cdot 120} = \frac{14{,}8706}{12\,000} \approx 0{,}00123922\\ \text{F}.
Em unidades usuais:
C \approx 1{,}239\times 10^{-3}\\ \text{F} = 1239\\ \mu\text{F}.
Arredondando para um valor comercial próximo, usa-se tipicamente 1200\\ \mu\text{F} ou 1500\\ \mu\text{F}. Mas o valor calculado para a especificação pedida é \approx 1239\\ \mu\text{F}.

Passo 6

Calcule a tensão contínua (valor médio) na saída e a corrente na carga. Explicando: com um capacitor de filtro e ripple pequeno, a tensão DC média é aproximadamente o pico menos metade do ripple:
V_{DC}\approx V_{p}' - \frac{\Delta V}{2}.
Substituindo:
V_{DC}\approx 15{,}3706 - 0{,}5 = 14{,}8706\\ \text{V}.
Corrente na carga:
I_R=\frac{V_{DC}}{R}=\frac{14{,}8706}{100}=0{,}148706\\ \text{A}\approx 148{,}7\\ \text{mA}.

Passo 7

Encontrar o ângulo de condução do diodo. Explicação conceitual curta: o diodo conduz apenas quando a tensão instantânea do secundário (menos as quedas de diodo) ultrapassa a tensão do capacitor; isso ocorre em torno do pico da senóide por um pequeno intervalo angular. Vamos determinar esse ângulo.
Tomamos a referência de tempo no pico da senóide ( \omega t = 0 é o pico). Para um ângulo \theta medido a partir do pico, a tensão da fonte é V_p\cos\theta. A condição de início (ou fim) de condução é:
V_p\cos\theta - 2V_{D0} = V_{\text{min}} = V_{p}' - \Delta V.
Sabendo que V_{p}'=V_p-2V_{D0}, essa condição simplifica bastante. Substituindo e simplificando obtemos
V_p\cos\theta = V_p - \Delta V \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = 1 - \frac{\Delta V}{V_p}.
Então \theta = \operatorname{arccos}\!\left(1-\dfrac{\Delta V}{V_p}\right). A largura total de condução (intervalo em que os diodos conducirão em torno do pico) é 2\theta.
Calculemos numericamente:
\cos\theta = 1 - \frac{1}{16{,}9706} \approx 1 - 0{,}05893 = 0{,}94107.
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}94107)\approx 0{,}342\\ \text{rad}\approx 19{,}6^\circ.
Assim a largura total de condução por pico é
2\theta \approx 0{,}684\\ \text{rad}\approx 39{,}2^\circ.
Observação: no retificador em ponte há duas recargas por período (full-wave), portanto ocorrem duas janelas de condução por ciclo da rede, cada uma com largura 2\theta.

Passo 8

Calcule a corrente média no diodo e a corrente de pico do diodo (explicando como se obtém):
Primeiro a corrente média sobre um ciclo inteiro em cada diodo (média de valor DC do fluxo de corrente através de um diodo ao longo de um período). Raciocínio: a carga consome I_R continuamente; ao longo de um ciclo todo, a carga recebe toda sua corrente via os diodos (quando conduzem). Cada diodo conduz apenas numa das duas metades (cada diodo individual participa de uma das duas recargas por ciclo), de modo que a carga é atendida por cada diodo, em média, metade do tempo (charge de cada diodo por ciclo é metade da carga total). Portanto a corrente média por diodo (média no período) é
I_{D,\text{méd, ciclo}}=\frac{I_R}{2}.é
Numericamente:
I_{D,\text{méd, ciclo}}=\frac{0{,}148706}{2}=0{,}074353\\ \text{A}\approx 74{,}35\\ \text{mA}.é
Agora o pico de corrente no diodo (importante para especificar o diodo): a corrente que o diodo entrega durante a condução é a soma da corrente de carga I_R e da corrente de carregamento do capacitor i_C. A carga elétrica entregue ao capacitor por evento de recarga é
Q=C\Delta V.
Essa carga é fornecida no intervalo de condução cuja duração é t_{\text{cond}}=2\theta/\omega, onde \omega=2\pi f. Um modelo aproximado razoável (usado frequentemente na prática) é assumir que a corrente de carga tem forma triangular no pulso de condução; para uma forma triangular de base t_{\text{cond}} e área Q, o pico da corrente de carga é
I_{C,\text{pk}}=\frac{2Q}{t_{\text{cond}}}=\frac{2C\Delta V}{t_{\text{cond}}}.
O pico total na diodo é então aproximadamente
I_{D,\text{pk}}\approx I_{C,\text{pk}} + I_R.
Vamos calcular passo a passo:
  • \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 \approx 377{,}0\\ \text{rad/s}.
  • 2\theta \approx 0{,}684\\ \text{rad}\Rightarrow t_{\text{cond}}=\dfrac{0{,}684}{377{,}0}\approx 0{,}001814\\ \text{s}.
  • Q=C\Delta V=0{,}00123922\cdot 1 = 0{,}00123922\\ \text{C}.
  • I_{C,\text{pk}}=\dfrac{2Q}{t_{\text{cond}}}=\dfrac{2\cdot 0{,}00123922}{0{,}001814}\approx 1{,}3656\\ \text{A}.
  • Então o pico total no diodo é aproximadamente
I_{D,\text{pk}}\approx 1{,}3656 + 0{,}148706 \approx 1{,}5143\\ \text{A}.
Portanto o pico de corrente que o diodo precisa suportar instantaneamente é da ordem de 1{,}5\\ \text{A} (esse é um pulso de curta duração).
Também é útil mencionar a corrente média enquanto o diodo está conduzindo (isto é, média sobre o intervalo de condução, não sobre todo o ciclo). Essa média sobre o intervalo de condução é
I_{D,\text{méd, cond}} = I_R + \frac{Q}{t_{\text{cond}}} = I_R + \frac{C\Delta V}{t_{\text{cond}}} \approx 0{,}1487 + 0{,}6828 \approx 0{,}8315\\ \text{A}.é
Mas quando o professor pergunta “corrente média no diodo” normalmente o que se quer é a média sobre o ciclo inteiro: I_R/2 (mostrei ambos por clareza).

Passo 9

Calcule a tensão de pico inversa (PIV) em cada diodo e especifique rating:
Explicação: quando uma diode está reversamente polarizada, ele pode ver, em pior caso, a tensão do capacitor somada ao pico da fonte (a diferença de potencial máxima entre anodo e catodo). Para o retificador em ponte com capacitor carregado ao pico, a PIV máxima em um diodo vale aproximadamente
\text{PIV} \approx V_p + V_{p}' = V_p + (V_p - 2V_{D0}) = 2V_p - 2V_{D0}.
(Outra forma de ver: isso é V_p + V_c com V_c\approx V_{p}'.)
Substituindo os valores:
\text{PIV} \approx 2\cdot 16{,}9706 - 2\cdot 0{,}8 = 33{,}9412 - 1{,}6 = 32{,}3412\\ \text{V}.
Arredondando:
\text{PIV}\approx 32{,}34\\ \text{V}.
Regra prática: escolher um diodo com margem de segurança sobre esse valor, por exemplo PIV de pelo menos 50\\ \text{V} (ou mais, conforme disponibilidade) para confiabilidade.

Passo 10

Especificação prática do diodo (o enunciado pede especificar em termos de corrente de pico e PIV):
  • PIV requerida (mínima calculada): \approx 32{,}34\\ \text{V}. Recomenda-se escolher pelo menos \mathbf{50\\ \text{V}} de PIV (ou um valor comercial comum como 100\\ \text{V} para folga).
  • Corrente de pico que o diodo deve suportar (pulso curto): \mathbf{I_{D,\text{pk}}\approx 1{,}51\\ \text{A}}. Para margem de segurança escolha um diodo com capacidade de pico repetitivo/surto de pelo menos \mathbf{2\\ \text{A}} ou mais (muitos diodos têm capacidade de surto bem maior por alguns ms).
  • Corrente média no diodo (média sobre o ciclo): \mathbf{\approx 0{,}074\\ \text{A}} — isto é pequena, mas atenção à corrente de pico de pulso. Portanto, um diodo com corrente média nominal de 1\\ \text{A} e PIV 50\text{–}100\\ \text{V} poderia funcionar; se se quer maior robustez escolha diodo de 2\text{–}3\\ \text{A} (por exemplo séries 1N540x são diodos de 3\\ \text{A} com PIV comparativamente alto).

Resposta

C \approx 1239\\ \mu\text{F}
V_{DC}\approx 14{,}8706\\ \text{V}
I_{R}\approx 0{,}148706\\ \text{A}
Ângulo de condução total por pico: 2\theta\approx 0{,}684\\ \text{rad}\approx 39{,}2^\circ (metade \theta\approx19{,}6^\circ)
Corrente média por diodo (média sobre o ciclo): I_{D,\text{méd, ciclo}}\approx 0{,}07435\\ \text{A}é
Corrente média por diodo durante condução: I_{D,\text{méd, cond}}\approx 0{,}8315\\ \text{A}é
Corrente de pico no diodo (pulso): I_{D,\text{pk}}\approx 1{,}514\\ \text{A}
PIV em cada diodo: \approx 32{,}34\\ \text{V}
Especificação prática sugerida do diodo: PIV \ge 50\\ \text{V} (melhor 100 V para folga), corrente de pico de surto \ge 2\\ \text{A} e corrente média nominal compatível (por ex. diodos comerciais de 1\text{–}3\\ \text{A}, como 1N540x para robustez).

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