P3.30 Considere um circuito retificador em ponte com um capacitor de filtro
ligado em paralelo com o resistor de carga
, para o caso em que o secundário do transformador fornece uma senóide de 12 V (rms), tendo uma freqüência de 60 Hz e supondo
e uma resistência de carga
. Calcule o valor de
que resulta em uma tensão de ondulação máxima de 1 V pico a pico. Qual a tensão
na saída? Calcule a corrente na carga. Encontre o ângulo de condução do diodo. Qual a corrente média no diodo? Qual a tensão de pico inversa em cada diodo? Especifique o diodo em termos de sua corrente de pico e de sua PIV.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado).
Dados:
- Tensão no secundário do transformador:
. - Frequência:
. - Queda direta em cada diodo:
. - Resistência de carga:
. - Deseja-se uma ondulação máxima (ripple) de
na saída do filtro capacitor paralelo com . - Circuito: retificador em ponte (full-wave bridge) seguido de capacitor de filtro
em paralelo com .
O enunciado pede:
- Calcular o valor de
que resulta em . - A tensão contínua (valor DC) na saída.
- A corrente na carga.
- O ângulo de condução do(s) diodo(s).
- A corrente média no diodo.
- A tensão de pico inversa (PIV) em cada diodo.
- Especificar o diodo em termos de corrente de pico e PIV.
Passo 2
Primeiro transformo a tensão RMS do secundário em valor de pico da senóide. Explicação curta: a relação entre valor eficaz (rms) e pico para uma senoide é
. Portanto:
Calculemos numericamente:
Esse é o pico da tensão do secundário (antes dos diodos).
Passo 3
No retificador em ponte, no momento de carga do capacitor a tensão que aparece no capacitor (no pico) é a tensão de pico do secundário menos a queda em dois diodos em série (porque a corrente atravessa dois diodos na ponte). Então o pico disponível para carregar o capacitor é
Substituindo os números:
Esse é o valor máximo que o capacitor alcança no carregamento (valor de pico no capacitor).
Passo 4
Agora precisamos relacionar a ondulação desejada
com
. Vou explicar a ideia física e a fórmula usada:
-
Em um retificador full-wave (ponte) com capacitor de filtro, a frequência das cristas que recarregam o capacitor é o dobro da frequência da rede, ou seja
. Aqui então . Isso ocorre porque o retificador full-wave gera um pico a cada meia-onda. -
Entre duas recargas sucessivas (entre dois picos) o capacitor fornece a corrente de carga à resistência
e sua tensão decai de até . Para ripple pequeno (caso típico), essa descarga pode ser aproximada por uma descarga linear de corrente quase constante durante o intervalo entre picos. -
A carga total (carga elétrica) retirada do capacitor entre picos é
. Essa carga corresponde ao tempo entre picos multiplicado pela corrente que flui do capacitor (aproximadamente ). Como os picos ocorrem a ,
- Isolando
obtemos a fórmula prática muito usada:
- Para ser um pouco mais preciso (levando em conta que
depende da tensão média que é próxima a ), usamos:
Substituindo em
e isolando
resulta
Essa fórmula é prática e dá uma boa estimativa sem iteração complicada.
Passo 5
Agora aplico a fórmula com os números:
-
(do Passo 3). -
. -
. -
.
Em unidades usuais:
Arredondando para um valor comercial próximo, usa-se tipicamente
ou
. Mas o valor calculado para a especificação pedida é
.
Passo 6
Calcule a tensão contínua (valor médio) na saída e a corrente na carga. Explicando: com um capacitor de filtro e ripple pequeno, a tensão DC média é aproximadamente o pico menos metade do ripple:
Substituindo:
Corrente na carga:
Passo 7
Encontrar o ângulo de condução do diodo. Explicação conceitual curta: o diodo conduz apenas quando a tensão instantânea do secundário (menos as quedas de diodo) ultrapassa a tensão do capacitor; isso ocorre em torno do pico da senóide por um pequeno intervalo angular. Vamos determinar esse ângulo.
Tomamos a referência de tempo no pico da senóide (
é o pico). Para um ângulo
medido a partir do pico, a tensão da fonte é
. A condição de início (ou fim) de condução é:
Sabendo que
, essa condição simplifica bastante. Substituindo e simplificando obtemos
Então
. A largura total de condução (intervalo em que os diodos conducirão em torno do pico) é
.
Calculemos numericamente:
Assim a largura total de condução por pico é
Observação: no retificador em ponte há duas recargas por período (full-wave), portanto ocorrem duas janelas de condução por ciclo da rede, cada uma com largura
.
Passo 8
Calcule a corrente média no diodo e a corrente de pico do diodo (explicando como se obtém):
Primeiro a corrente média sobre um ciclo inteiro em cada diodo (média de valor DC do fluxo de corrente através de um diodo ao longo de um período). Raciocínio: a carga consome
continuamente; ao longo de um ciclo todo, a carga recebe toda sua corrente via os diodos (quando conduzem). Cada diodo conduz apenas numa das duas metades (cada diodo individual participa de uma das duas recargas por ciclo), de modo que a carga é atendida por cada diodo, em média, metade do tempo (charge de cada diodo por ciclo é metade da carga total). Portanto a corrente média por diodo (média no período) é
Numericamente:
Agora o pico de corrente no diodo (importante para especificar o diodo): a corrente que o diodo entrega durante a condução é a soma da corrente de carga
e da corrente de carregamento do capacitor
. A carga elétrica entregue ao capacitor por evento de recarga é
Essa carga é fornecida no intervalo de condução cuja duração é
, onde
. Um modelo aproximado razoável (usado frequentemente na prática) é assumir que a corrente de carga tem forma triangular no pulso de condução; para uma forma triangular de base
e área
, o pico da corrente de carga é
O pico total na diodo é então aproximadamente
Vamos calcular passo a passo:
-
-
-
-
- Então o pico total no diodo é aproximadamente
Portanto o pico de corrente que o diodo precisa suportar instantaneamente é da ordem de
(esse é um pulso de curta duração).
Também é útil mencionar a corrente média enquanto o diodo está conduzindo (isto é, média sobre o intervalo de condução, não sobre todo o ciclo). Essa média sobre o intervalo de condução é
Mas quando o professor pergunta “corrente média no diodo” normalmente o que se quer é a média sobre o ciclo inteiro:
(mostrei ambos por clareza).
Passo 9
Calcule a tensão de pico inversa (PIV) em cada diodo e especifique rating:
Explicação: quando uma diode está reversamente polarizada, ele pode ver, em pior caso, a tensão do capacitor somada ao pico da fonte (a diferença de potencial máxima entre anodo e catodo). Para o retificador em ponte com capacitor carregado ao pico, a PIV máxima em um diodo vale aproximadamente
(Outra forma de ver: isso é
com
.)
Substituindo os valores:
Arredondando:
Regra prática: escolher um diodo com margem de segurança sobre esse valor, por exemplo PIV de pelo menos
(ou mais, conforme disponibilidade) para confiabilidade.
Passo 10
Especificação prática do diodo (o enunciado pede especificar em termos de corrente de pico e PIV):
- PIV requerida (mínima calculada):
. Recomenda-se escolher pelo menos de PIV (ou um valor comercial comum como para folga). - Corrente de pico que o diodo deve suportar (pulso curto):
. Para margem de segurança escolha um diodo com capacidade de pico repetitivo/surto de pelo menos ou mais (muitos diodos têm capacidade de surto bem maior por alguns ms). - Corrente média no diodo (média sobre o ciclo):
— isto é pequena, mas atenção à corrente de pico de pulso. Portanto, um diodo com corrente média nominal de e PIV poderia funcionar; se se quer maior robustez escolha diodo de (por exemplo séries 1N540x são diodos de com PIV comparativamente alto).
Resposta
Ângulo de condução total por pico:
Corrente média por diodo (média sobre o ciclo):
Corrente média por diodo durante condução:
Corrente de pico no diodo (pulso):
PIV em cada diodo:
Especificação prática sugerida do diodo: PIV