3.8 Usando o fato de que um diodo de silício tem I_{S}=10^{-14} \mathrm{~A} a 25^{\circ} \mathrm{C} e que I_{S} aumenta em 15 \% por { }^{\circ} \mathrm{C} de aumento na temperatura, calcule o valor de I_{S} a 125^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Valor do parâmetro de saturação do diodo a 25^{\circ}\mathrm{C}: I_{S}(25^{\circ}\mathrm{C})=10^{-14}\\ \mathrm{A}.
  • A cada aumento de 1^{\circ}\mathrm{C} a corrente de saturação aumenta em 15\% (ou seja, a cada grau multiplica-se pelo fator 1{,}15).
  • Pede-se o valor de I_{S} a 125^{\circ}\mathrm{C}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Calcular I_{S}(125^{\circ}\mathrm{C}) usando os dados acima.

Passo 2

Entendendo o modelo de variação com a temperatura (explicação didática):
  • Quando o enunciado diz que I_{S} "aumenta em 15\% por ^{\circ}\mathrm{C}", isso significa que para cada grau Celsius de aumento a nova corrente é o valor anterior multiplicado por 1{,}15.
  • Se a diferença de temperatura entre dois pontos for \Delta T graus, então aplicamos esse fator \Delta T vezes, i.e., fazemos uma multiplicação repetida. Isso é o mesmo que uma potência.
  • Logo a fórmula de crescimento discreto por grau é
I_{S}(T_2)=I_{S}(T_1)\,(1{,}15)^{T_2-T_1}.
Aqui:
  • I_{S}(T_1) é o valor conhecido em T_1 (no problema T_1=25^{\circ}\mathrm{C}),
  • T_2 é a temperatura alvo ( 125^{\circ}\mathrm{C}),
  • 1{,}15 é o fator de multiplicação por grau (porque 15\% = 0{,}15 e 1+0{,}15=1{,}15).
Observação técnica alternativa (não obrigatória para a conta, só para entender): esta potência pode ser calculada também como
I_{S}(T_2)=I_{S}(T_1)\exp\big((T_2-T_1)\ln(1{,}15)\big),
o que pode ser útil para calcular potências grandes usando logaritmos.

Passo 3

Calcular a diferença de temperatura \Delta T:
\Delta T = 125^{\circ}\mathrm{C}-25^{\circ}\mathrm{C}=100^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores do problema:
I_{S}(125^{\circ}\mathrm{C})=10^{-14}\\ \mathrm{A}\times (1{,}15)^{100}.
Agora vamos calcular numericamente (1{,}15)^{100}. Usando logaritmos naturais:
\ln(1{,}15)\approx0{,}139762,
100\ln(1{,}15)\approx13{,}9762,
(1{,}15)^{100}=\exp(100\ln(1{,}15))\approx\exp(13{,}9762)\approx1{,}164\times10^{6}.
Multiplicando pelo valor inicial:
I_{S}(125^{\circ}\mathrm{C})\approx10^{-14}\times1{,}164\times10^{6}=1{,}164\times10^{-8}\\ \mathrm{A}.
Arredondando para três algarismos significativos:
I_{S}(125^{\circ}\mathrm{C})\approx1{,}16\times10^{-8}\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Interpretação rápida (motivaçao para prova): o crescimento é exponencial porque o aumento percentual por grau é aplicado multiplicativamente a cada grau. Por isso, uma diferença de 100^{\circ}\mathrm{C} gera um fator grande (1{,}15)^{100}, apesar de 15\% parecer moderado por grau.

Resposta

I_{S}(125^{\circ}\mathrm{C})\approx1{,}16\times10^{-8}\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados