B.7.30 Desenhe os diagramas de Bode para o controlador PI dado por
G_{c}(s)=5\left(1+\frac{1}{2 s}\right)
e para o controlador PD dado por
G_{c}(s)=5(1+0,5 s)

Passo 1

O enunciado pede para traçarmos os diagramas de Bode (magnitude e fase) de dois controladores:
G_{c1}(s)=5\bigl(1+\tfrac{1}{2s}\bigr)\quad\text{(PI)}
G_{c2}(s)=5\bigl(1+0,5\,s\bigr)\quad\text{(PD)}
Conteúdo: construção de diagramas de Bode por meio de polos, zeros e suas frequências de quebra, mais as assíntotas de magnitude e fase.

Passo 2

Reescrevemos em formas padrão para identificar polos e zeros:
G_{c1}(s) =5\Bigl(\frac{2s+1}{2s}\Bigr) =\frac{5}{2}\;\frac{2s+1}{s}
Temos
– um polo de integrador em s=0 (declive −20 dB/déc)
– um zero em s=-\tfrac{1}{2}, cuja frequência de quebra é
\omega_{z1}=\tfrac{1}{2}\\ \text{rad/s}.
G_{c2}(s) =5\bigl(1+0,5\,s\bigr)
Temos
– um zero em s=-\tfrac{1}{0,5}=-2, frequência de quebra
\omega_{z2}=2\\ \text{rad/s},
sem polos finitos além do ganho.

Passo 3

Assíntotas de magnitude:
  1. Para o PI:
    – em \omega<\omega_{z1}, domina o integrador ⇒ slope ≈−20 dB/déc
    – em \omega>\omega_{z1}, o termo “1” domina ⇒ slope \approx 0 dB/déc
    – ganho estático alto em baixas \omega\to0 e nivela em 20\log_{10}5\approx14 dB acima de \omega_{z1}.
  2. Para o PD:
    – em \omega<\omega_{z2}, zero não atua ⇒ slope \approx 0 dB/déc, nível 20\log_{10}5\approx14 dB
    – em \omega>\omega_{z2}, o zero entra ⇒ slope \approx+20 dB/déc
Frequências de quebra e magnitudes aproximadas no ponto de canto ( +3 dB de pico de canto):
– PI em \omega_{z1}=0,5: magnitude ≈ 5\sqrt{2} \Rightarrow\approx 17 dB
– PD em \omega_{z2}=2: magnitude ≈ 5\sqrt{2} \Rightarrow\approx 17 dB

Passo 4

Assíntotas de fase:
  1. Para o PI:
    – integrador contribui com − 90\circ para \omega\ll\omega_{z1}
    – zero de ordem 1 contribui com +90\circ para \omega\gg\omega_{z1}
    – transição de − 90\circ a 0\circ centrada em \omega_{z1}=0,5, com − 45\circ em \omega=0,5.
  2. Para o PD:
    – abaixo de \omega_{z2} fase \approx 0\circ
    – acima de \omega_{z2} fase \approx+90\circ
    – transição de 0\circ a +90\circ centrada em \omega_{z2}=2, com +45\circ em \omega=2.

Passo 5

Esquematizando os diagramas:
Para o PI \omega_{z1}=0,5:
Magnitude (dB) versus \log\omega:
– slope −20 dB/déc até \omega=0,5, valor nessa frequência \approx 14 dB
– slope 0 dB/déc acima de 0,5, nivelado em 14 dB
fase (°) versus \log\omega:
– começa em − 90\circ, sobe para 0\circ entre 0,1 e 5, com − 45\circ em 0,5
Para o PD \omega_{z2}=2:
Magnitude (dB) versus \log\omega:
– slope 0 dB/déc até \omega=2, valor em 2\approx 14 dB
– slope +20 dB/déc acima de 2
fase (°) versus \log\omega:
– começa em 0\circ, sobe para +90\circ entre 0,2 e 20, com +45\circ em 2

Resposta

Os diagramas de Bode assintóticos são:
(a) Controlador PI \displaystyle G_{c1}(s)=5\bigl(1+\frac1{2s}\bigr)
– Magnitude: −20 dB/déc até \omega=0,5, depois 0 dB/déc; ganho nivelado em ~14 dB acima de 0,5.
– Fase: transição de − 90\circ a 0\circ centrada em 0,5 rad/s (− 45\circ em 0,5).
(b) Controlador PD \displaystyle G_{c2}(s)=5(1+0,5s)
– Magnitude: 0 dB/déc até \omega=2, depois +20 dB/déc; valor em 2 nivelado em ~14 dB.
– Fase: transição de 0\circ a +90\circ centrada em 2 rad/s ( +45\circ em 2).

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