1.30
Explique o fenômeno do arco-íris.
Passo 1
O enunciado pede: explicar o fenômeno do arco-íris. Para ficar organizado, isto envolve responder explicitamente:
- Quais processos físicos dentro de gotas de chuva produzem o arco-íris (o que acontece com um raio de luz ao entrar numa gota);
- Por que surgem diferentes cores (por que a luz branca se separa);
- Por que as cores aparecem em uma ordem fixa (qual cor fica por dentro e qual por fora);
- Por que há arco primário e secundário com ângulos e ordens diferentes;
- Por que existe uma faixa mais escura entre os dois arcos (Alexander’s dark band) e por que às vezes surgem arcos extras finos (supernumerários);
- Valores típicos dos ângulos observados para arco primário e secundário.
Não foi fornecida nenhuma outra informação numérica; iremos usar propriedades óticas do ar e da água (índice de refração) e uma análise geométrica de raios dentro de uma gota esférica.
Passo 2
Conceito básico: refração e Lei de Snell — o que muda quando a luz entra na gota.
Quando um raio de luz passa do ar para a água a sua direção muda: isso chama-se refração. A lei que relaciona os ângulos é a Lei de Snell:
onde:
-
é o índice de refração do meio de onde a luz vem (no nosso caso o ar, com ); -
é o índice de refração do meio para onde a luz vai (água, dependendo do comprimento de onda); -
é o ângulo de incidência medido em relação à normal à superfície; -
é o ângulo refratado dentro do segundo meio, também em relação à normal.
Explicando simples: se
, a luz “se curva” em direção à normal ao entrar no segundo meio. O ângulo refratado é menor que o ângulo incidente.
Passo 3
Conceito fundamental 2: dispersão — índice de refração depende do comprimento de onda.
A água (como a maioria dos materiais transparentes) tem índice de refração que varia com o comprimento de onda da luz:
. Em geral a água tem
maior para comprimentos de onda menores (violeta) e menor para comprimentos maiores (vermelho). Esse efeito chama-se dispersão e é a razão física pela qual a luz branca (uma mistura de comprimentos de onda) se separa em cores diferentes ao sofrer refração.
Passo 4
Trajeto do raio dentro de uma gota esférica — passos que geram o arco primário.
Considere uma gota praticamente esférica. Um raio de luz solar paralelo incide sobre a gota. Para o arco primário o caminho típico é:
- O raio é refratado ao entrar na gota (mudança de direção conforme Snell).
- O raio sofre uma reflexão interna simples na face interna oposta da gota (uma reflexão total não ocorre, é reflexão interna “com perda” por Fresnel).
- O raio sai da gota refratando-se outra vez ao passar da água para o ar.
Esse conjunto (refração entrada → reflexão interna uma vez → refração saída) é o processo que produz o arco primário.
Passo 5
Definir e derivar a expressão do desvio do raio (geometria elementar).
Definimos:
-
como o ângulo de incidência na entrada (ângulo entre raio incidente e a normal local); -
como o ângulo refratado dentro da gota (relacionados por , tomando como índice relativo água/ar); -
como o ângulo de desvio total entre a direção do raio incidente e a direção do raio emergente depois de uma reflexão interna.
Pela geometria da esfera e trigonometria pode-se mostrar (passos geométricos que se encontram em livros de óptica geométrica) que, para o caso com uma reflexão interna, o desvio é
Uma observação útil: o ângulo visível do arco em relação ao ponto anti-Sol (o ponto exatamente oposto ao Sol no céu) é
Isto porque o observador vê o raio vindo numa direção que forma ângulo
com o ponto anti-Sol.
Passo 6
Por que aparece um arco bem definido (concentração de raios): condição de extremum do desvio.
Os raios solares vêm praticamente paralelos, com muitos valores possíveis de
dependendo do ponto de incidência na gota. Cada
dá um
. As gotas contribuem mais fortemente para direções onde
tem um extremo (mínimo/ máximo do desvio): nesses pontos muitos raios próximos chegam com quase o mesmo ângulo emergente, produzindo intensificação (um “encaixe” de muitos raios). Para o arco primário procuramos extremo de
(ou equivalente extremo de
).
Derivando
em relação a
e usando
(portanto
) obtemos a condição do extremo:
que dá
Com manipulação algébrica (usar
e identidades trigonométricas) chega-se a uma expressão direta para
:
Essa expressão fornece o ângulo
que dá o desvio extremo. A partir de
calcula-se
por
e então
.
Passo 7
Cálculo numérico aproximado para água e conclusão sobre o ângulo do arco primário.
Para água usa-se um índice típico médio. Tomando
(média visível), substituímos na fórmula:
logo
e
.
Em seguida , então
.
Finalmente
Em seguida
Finalmente
Assim o arco primário aparece aproximadamente a
medidos a partir do ponto anti-Sol — isto é o ângulo entre a linha que vai do observador para o centro do arco e a linha que vai do observador ao ponto anti-Sol.
Passo 8
Por que há separação de cores e ordem das cores.
Como
depende do comprimento de onda
, cada cor tem um pequeno valor diferente de
, logo cada cor produz um
ligeiramente distinto pelo cálculo acima. Tipicamente:
- Para o vermelho
é um pouco menor, o que dá um maior (perto de a ); - Para o violeta
é um pouco maior, o que dá um menor (perto de a ).
Resultado: o arco primário tem o vermelho na parte externa e o violeta na parte interna. A dispersão na refração é a causa direta da separação das cores.
Passo 9
Arco secundário, ordem invertida e por que é mais fraco.
O arco secundário é produzido por raios que fazem duas reflexões internas dentro da gota antes de saírem. Geometricamente isso leva a outra expressão de desvio (análoga à do primário, com termos que contam duas reflexões) e tem um extremo que corresponde a um ângulo maior em relação ao anti-Sol — tipicamente
a
para o vermelho do arco secundário. A ordem das cores fica invertida no arco secundário (o vermelho fica por dentro do arco e o violeta por fora) porque a sequência de refrações/reflexões inverte a forma como os comprimentos de onda são defasados em ângulo.
Além disso o arco secundário é mais fraco porque cada reflexão interna acarreta perda de intensidade pela reflexão parcial (coeficientes de Fresnel) e porque o caminho mais longo espalha mais a energia.
Passo 10
Alexander’s dark band, supernumerários e polarização — pequenos detalhes adicionados.
- Alexander’s dark band: entre os ângulos típicos do primário (
) e do secundário ( ) há uma região onde poucos raios são desviados para o observador, resultando numa faixa mais escura entre os arcos. - Supernumerary bows: arcos finos e paralelos ao arco principal, interior a ele, são explicados pela natureza ondulatória da luz — interferência entre raios que seguem trajetos próximos dentro da gota. Isso não aparece na óptica geométrica simples, exige tratamento por óptica de ondas (difração/interferência).
- Polarização: a luz dentro do arco é parcialmente polarizada porque tanto as refrações quanto as reflexões dependem da polarização; para o arco primário a luz emergente é preferencialmente polarizada com direção tangencial ao arco.
Passo 11
Como observar e reconhecer: centro do arco e posição do Sol.
Na prática o arco é um círculo centrado no ponto anti-Sol (o ponto do céu exatamente oposto ao Sol). Para um observador na superfície o arco aparece como um arco (parte do círculo) porque o solo o limita. O centro do arco está sempre sobre a linha que liga o observador ao anti-Sol (ou seja, se o Sol estiver baixo no horizonte, o arco aparecerá alto; se o Sol estiver muito alto, o arco fica baixo ou pode não ser visível).
Resposta
O arco-íris é formado por gotas de chuva que refratam a luz solar ao entrar, dispersam as cores porque o índice de refração da água depende do comprimento de onda, refletem internamente (uma vez para o arco primário, duas vezes para o secundário) e refratam novamente ao sair; a geometria e a dispersão fazem com que haja um ângulo preferencial de saída (
para o arco primário,
para o secundário) que concentra cores em um arco, com vermelho fora e violeta dentro no primário, ordem invertida no secundário; bandas escuras, arcos extras e polarização resultam de perdas por reflexão, da interferência de ondas e das propriedades de Fresnel.