1.30
Explique o fenômeno do arco-íris.

Passo 1

O enunciado pede: explicar o fenômeno do arco-íris. Para ficar organizado, isto envolve responder explicitamente:
  • Quais processos físicos dentro de gotas de chuva produzem o arco-íris (o que acontece com um raio de luz ao entrar numa gota);
  • Por que surgem diferentes cores (por que a luz branca se separa);
  • Por que as cores aparecem em uma ordem fixa (qual cor fica por dentro e qual por fora);
  • Por que há arco primário e secundário com ângulos e ordens diferentes;
  • Por que existe uma faixa mais escura entre os dois arcos (Alexander’s dark band) e por que às vezes surgem arcos extras finos (supernumerários);
  • Valores típicos dos ângulos observados para arco primário e secundário.
Não foi fornecida nenhuma outra informação numérica; iremos usar propriedades óticas do ar e da água (índice de refração) e uma análise geométrica de raios dentro de uma gota esférica.

Passo 2

Conceito básico: refração e Lei de Snell — o que muda quando a luz entra na gota.
Quando um raio de luz passa do ar para a água a sua direção muda: isso chama-se refração. A lei que relaciona os ângulos é a Lei de Snell:
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2,
onde:
  • n_1 é o índice de refração do meio de onde a luz vem (no nosso caso o ar, com n_{\text{ar}}\approx1);
  • n_2 é o índice de refração do meio para onde a luz vai (água, n\approx1{,}33 dependendo do comprimento de onda);
  • \theta_1 é o ângulo de incidência medido em relação à normal à superfície;
  • \theta_2 é o ângulo refratado dentro do segundo meio, também em relação à normal.
Explicando simples: se n_2>n_1, a luz “se curva” em direção à normal ao entrar no segundo meio. O ângulo refratado é menor que o ângulo incidente.

Passo 3

Conceito fundamental 2: dispersão — índice de refração depende do comprimento de onda.
A água (como a maioria dos materiais transparentes) tem índice de refração que varia com o comprimento de onda da luz: n=n(\lambda). Em geral a água tem n maior para comprimentos de onda menores (violeta) e menor para comprimentos maiores (vermelho). Esse efeito chama-se dispersão e é a razão física pela qual a luz branca (uma mistura de comprimentos de onda) se separa em cores diferentes ao sofrer refração.

Passo 4

Trajeto do raio dentro de uma gota esférica — passos que geram o arco primário.
Considere uma gota praticamente esférica. Um raio de luz solar paralelo incide sobre a gota. Para o arco primário o caminho típico é:
  1. O raio é refratado ao entrar na gota (mudança de direção conforme Snell).
  2. O raio sofre uma reflexão interna simples na face interna oposta da gota (uma reflexão total não ocorre, é reflexão interna “com perda” por Fresnel).
  3. O raio sai da gota refratando-se outra vez ao passar da água para o ar.
Esse conjunto (refração entrada → reflexão interna uma vez → refração saída) é o processo que produz o arco primário.

Passo 5

Definir e derivar a expressão do desvio do raio (geometria elementar).
Definimos:
  • i como o ângulo de incidência na entrada (ângulo entre raio incidente e a normal local);
  • r como o ângulo refratado dentro da gota (relacionados por \sin i = n\sin r, tomando n como índice relativo água/ar);
  • D(i) como o ângulo de desvio total entre a direção do raio incidente e a direção do raio emergente depois de uma reflexão interna.
Pela geometria da esfera e trigonometria pode-se mostrar (passos geométricos que se encontram em livros de óptica geométrica) que, para o caso com uma reflexão interna, o desvio é
D(i) = \pi + 2i - 4r.
Uma observação útil: o ângulo visível do arco em relação ao ponto anti-Sol (o ponto exatamente oposto ao Sol no céu) é
\Theta(i)=\pi - D(i)=4r - 2i.
Isto porque o observador vê o raio vindo numa direção que forma ângulo \Theta com o ponto anti-Sol.

Passo 6

Por que aparece um arco bem definido (concentração de raios): condição de extremum do desvio.
Os raios solares vêm praticamente paralelos, com muitos valores possíveis de i dependendo do ponto de incidência na gota. Cada i dá um \Theta(i). As gotas contribuem mais fortemente para direções onde \Theta(i) tem um extremo (mínimo/ máximo do desvio): nesses pontos muitos raios próximos chegam com quase o mesmo ângulo emergente, produzindo intensificação (um “encaixe” de muitos raios). Para o arco primário procuramos extremo de D(i) (ou equivalente extremo de \Theta(i)).
Derivando D(i) em relação a i e usando \sin i = n\sin r (portanto \dfrac{dr}{di}=\dfrac{\cos i}{n\cos r}) obtemos a condição do extremo:
\frac{dD}{di}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2-4\frac{dr}{di}=0
que dá
\frac{\cos i}{n\cos r}=\frac{1}{2}.
Com manipulação algébrica (usar \sin i = n\sin r e identidades trigonométricas) chega-se a uma expressão direta para r:
\sin^2 r = \frac{4-n^2}{3n^2}.
Essa expressão fornece o ângulo r que dá o desvio extremo. A partir de r calcula-se i por \sin i = n\sin r e então \Theta=4r-2i.

Passo 7

Cálculo numérico aproximado para água e conclusão sobre o ângulo do arco primário.
Para água usa-se um índice típico médio. Tomando n\approx1{,}333 (média visível), substituímos na fórmula:
\sin^2 r = \frac{4-(1{,}333)^2}{3(1{,}333)^2}\approx0{,}4167,
logo \sin r\approx0{,}6455 e r\approx40{,}2^\circ.
Em seguida \sin i = n\sin r\approx1{,}333\cdot0{,}6455\approx0{,}8607, então i\approx59{,}4^\circ.
Finalmente
\Theta = 4r-2i \approx 4\cdot40{,}2^\circ - 2\cdot59{,}4^\circ \approx 41{,}8^\circ.
Assim o arco primário aparece aproximadamente a \Theta\approx42^\circ medidos a partir do ponto anti-Sol — isto é o ângulo entre a linha que vai do observador para o centro do arco e a linha que vai do observador ao ponto anti-Sol.

Passo 8

Por que há separação de cores e ordem das cores.
Como n depende do comprimento de onda \lambda, cada cor tem um pequeno valor diferente de n, logo cada cor produz um \Theta ligeiramente distinto pelo cálculo acima. Tipicamente:
  • Para o vermelho n é um pouco menor, o que dá um \Theta maior (perto de 42^\circ a 42{,}5^\circ);
  • Para o violeta n é um pouco maior, o que dá um \Theta menor (perto de 40^\circ a 40{,}5^\circ).
Resultado: o arco primário tem o vermelho na parte externa e o violeta na parte interna. A dispersão na refração é a causa direta da separação das cores.

Passo 9

Arco secundário, ordem invertida e por que é mais fraco.
O arco secundário é produzido por raios que fazem duas reflexões internas dentro da gota antes de saírem. Geometricamente isso leva a outra expressão de desvio (análoga à do primário, com termos que contam duas reflexões) e tem um extremo que corresponde a um ângulo maior em relação ao anti-Sol — tipicamente \Theta\approx50^\circ a 53^\circ para o vermelho do arco secundário. A ordem das cores fica invertida no arco secundário (o vermelho fica por dentro do arco e o violeta por fora) porque a sequência de refrações/reflexões inverte a forma como os comprimentos de onda são defasados em ângulo.
Além disso o arco secundário é mais fraco porque cada reflexão interna acarreta perda de intensidade pela reflexão parcial (coeficientes de Fresnel) e porque o caminho mais longo espalha mais a energia.

Passo 10

Alexander’s dark band, supernumerários e polarização — pequenos detalhes adicionados.
  • Alexander’s dark band: entre os ângulos típicos do primário ( \sim42^\circ) e do secundário ( \sim51^\circ) há uma região onde poucos raios são desviados para o observador, resultando numa faixa mais escura entre os arcos.
  • Supernumerary bows: arcos finos e paralelos ao arco principal, interior a ele, são explicados pela natureza ondulatória da luz — interferência entre raios que seguem trajetos próximos dentro da gota. Isso não aparece na óptica geométrica simples, exige tratamento por óptica de ondas (difração/interferência).
  • Polarização: a luz dentro do arco é parcialmente polarizada porque tanto as refrações quanto as reflexões dependem da polarização; para o arco primário a luz emergente é preferencialmente polarizada com direção tangencial ao arco.

Passo 11

Como observar e reconhecer: centro do arco e posição do Sol.
Na prática o arco é um círculo centrado no ponto anti-Sol (o ponto do céu exatamente oposto ao Sol). Para um observador na superfície o arco aparece como um arco (parte do círculo) porque o solo o limita. O centro do arco está sempre sobre a linha que liga o observador ao anti-Sol (ou seja, se o Sol estiver baixo no horizonte, o arco aparecerá alto; se o Sol estiver muito alto, o arco fica baixo ou pode não ser visível).

Resposta

O arco-íris é formado por gotas de chuva que refratam a luz solar ao entrar, dispersam as cores porque o índice de refração da água depende do comprimento de onda, refletem internamente (uma vez para o arco primário, duas vezes para o secundário) e refratam novamente ao sair; a geometria e a dispersão fazem com que haja um ângulo preferencial de saída ( \sim42^\circ para o arco primário, \sim50^\circ\!-\!53^\circ para o secundário) que concentra cores em um arco, com vermelho fora e violeta dentro no primário, ordem invertida no secundário; bandas escuras, arcos extras e polarização resultam de perdas por reflexão, da interferência de ondas e das propriedades de Fresnel.

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