30{ }^{\mathrm{a}} QUESTÃO

Uma fonte de luz viaja, distanciando-se da Terra a uma velocidade muito alta, muito próxima da velocidade da luz. Dessa forma, seu fator de Lorentz \gamma deve ser muito maior que a unidade. Determine a razão, aproximada, entre a frequência percebida na Terra e aquela emitida pela própria fonte. Use, se precisar: (1+x)^{n} \approx 1+n x.
(A) 2 \gamma
(B) \frac{1}{2 \gamma}
(C) \frac{1}{\gamma^{2}}
(D) \frac{2}{\gamma^{2}}
(E) 1-\frac{1}{\gamma}

Passo 1

O enunciado diz: uma fonte de luz afasta-se da Terra com velocidade muito próxima de c, de modo que o fator de Lorentz \gamma é muito maior que 1 ( \gamma\gg1). Pede-se a razão aproximada entre a frequência percebida na Terra e a frequência emitida pela fonte. As alternativas dadas são:
(A) 2\gamma
(B) \dfrac{1}{2\gamma}
(C) \dfrac{1}{\gamma^{2}}
(D) \dfrac{2}{\gamma^{2}}
(E) 1-\dfrac{1}{\gamma}

Passo 2

Quando uma fonte de luz se afasta com velocidade v o deslocamento Doppler relativístico para a frequência recebida é, para luz no vácuo:
f_{\text{obs}}=f_{\text{emit}}\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},
onde \beta=\dfrac{v}{c}. Esta fórmula reduz a frequência (redshift) quando a fonte se afasta ( \beta>0). Aqui f_{\text{obs}} é a frequência medida na Terra e f_{\text{emit}} a frequência emitida pela fonte.

Passo 3

Defino a razão procurada
R=\frac{f_{\text{obs}}}{f_{\text{emit}}}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Queremos uma aproximação desta razão quando \gamma\gg1. Lembremos da relação entre \gamma e \beta:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\quad\Rightarrow\quad \beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}.

Passo 4

Como \gamma\gg1, temos 1/\gamma^{2} pequeno. Escrevo \beta de forma que eu possa usar a aproximação (1+x)^{n}\approx 1+nx. Faço
\beta=\left(1-\frac{1}{\gamma^{2}}\right)^{1/2}=\left(1+x\right)^{1/2}\quad\text{com}\quad x=-\frac{1}{\gamma^{2}}.
Aplicando (1+x)^{1/2}\approx 1+\tfrac{1}{2}x para |x|\ll1, obtenho
\beta\approx 1+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{\gamma^{2}}\right)=1-\frac{1}{2\gamma^{2}}.

Passo 5

Calculo 1-\beta e 1+\beta usando a aproximação:
1-\beta\approx 1-\left(1-\frac{1}{2\gamma^{2}}\right)=\frac{1}{2\gamma^{2}}.
1+\beta\approx 1+\left(1-\frac{1}{2\gamma^{2}}\right)=2-\frac{1}{2\gamma^{2}}\approx 2,
onde no último passo usei que \dfrac{1}{2\gamma^{2}} é desprezível frente a 2 quando \gamma\gg1.

Passo 6

Substituo essas aproximações em R:
R=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\approx \sqrt{\frac{\dfrac{1}{2\gamma^{2}}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4\gamma^{2}}}=\frac{1}{2\gamma}.

Passo 7

Interpretação rápida: para uma fonte afastando-se quase à velocidade da luz a frequência recebida é muito reduzida, aproximadamente menor por um fator \dfrac{1}{2\gamma}.

Resposta

(B) \dfrac{1}{2\gamma}

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