Uma fonte de luz viaja, distanciando-se da Terra a uma velocidade muito alta, muito próxima da velocidade da luz. Dessa forma, seu fator de Lorentz \gamma deve ser muito maior que a unidade. Determine a razão, aproximada, entre a frequência percebida na Terra e aquela emitida pela própria fonte. Use, se precisar: (1+x)^{n} \approx 1+n x.
(A) 2 \gamma
(B) \frac{1}{2 \gamma}
(C) \frac{1}{\gamma^{2}}
(D) \frac{2}{\gamma^{2}}
(E) 1-\frac{1}{\gamma}
Passo 1
O enunciado diz: uma fonte de luz afasta-se da Terra com velocidade muito próxima de c, de modo que o fator de Lorentz \gamma é muito maior que 1 (\gamma\gg1). Pede-se a razão aproximada entre a frequência percebida na Terra e a frequência emitida pela fonte. As alternativas dadas são:
(A) 2\gamma
(B) \dfrac{1}{2\gamma}
(C) \dfrac{1}{\gamma^{2}}
(D) \dfrac{2}{\gamma^{2}}
(E) 1-\dfrac{1}{\gamma}
Passo 2
Quando uma fonte de luz se afasta com velocidade v o deslocamento Doppler relativístico para a frequência recebida é, para luz no vácuo:
onde \beta=\dfrac{v}{c}. Esta fórmula reduz a frequência (redshift) quando a fonte se afasta (\beta>0). Aqui f_{\text{obs}} é a frequência medida na Terra e f_{\text{emit}} a frequência emitida pela fonte.
Interpretação rápida: para uma fonte afastando-se quase à velocidade da luz a frequência recebida é muito reduzida, aproximadamente menor por um fator \dfrac{1}{2\gamma}.