Dois trens A e B começam a se mover simultaneamente ao longo de trilhos paralelos, a partir de uma estação, no mesmo sentido. O trem A parte do repouso com aceleração constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, enquanto o trem B possui a mesma aceleração, mas com velocidade inicial de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Após 20 s da partida, um passageiro de A ouve o apito de B. Se a frequência do apito é 1194 Hz e a velocidade do som no ar é 322 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a frequência percebida pelo passageiro nesse instante.
(A) 1086 Hz
(B) 966 Hz
(C) 1122 Hz
(D) 980 Hz
(E) 1086 Hz

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Aceleração de ambos os trens: \,a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
    • Velocidade inicial do trem A: \,v_{A0}=0\\ \mathrm{m/s}\,.
    • Velocidade inicial do trem B: \,v_{B0}=4\\ \mathrm{m/s}\,.
    • Frequência do apito (em B): \,f=1194\\ \mathrm{Hz}\,.
    • Velocidade do som no ar: \,c=322\\ \mathrm{m/s}\,.
    • Um passageiro em A ouve o apito no instante \,t_r=20\\ \mathrm{s}\, após a partida (isto é, o som chega ao passageiro em t_r=20\\ \mathrm{s}).
  • O que o problema pede:
    • Calcular a frequência percebida pelo passageiro de A no instante em que ele ouve o apito (isto é, a frequência recebida em t_r=20\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Escrever as posições e velocidades das locomotivas em função do tempo (movimento com aceleração constante a partir da estação em x=0).
  • Para o trem A (parte do repouso, v_{A0}=0): x_A(t)=v_{A0}t+\tfrac{1}{2} a t^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot t^{2}=t^{2}\quad(\mathrm{m}).
v_A(t)=v_{A0}+a t=0+2t=2t\quad(\mathrm{m/s}).
  • Para o trem B (velocidade inicial v_{B0}=4\\ \mathrm{m/s}): x_B(t)=v_{B0}t+\tfrac{1}{2} a t^{2}=4t+t^{2}\quad(\mathrm{m}).
v_B(t)=v_{B0}+a t=4+2t\quad(\mathrm{m/s}).
  • Especificamente, no instante de recepção t_r=20\\ \mathrm{s} temos x_A(20)=20^{2}=400\\ \mathrm{m},\qquad v_A(20)=2\cdot20=40\\ \mathrm{m/s}.E o trem B no instante t=20 valerá v_B(20)=4+2\cdot20=44\\ \mathrm{m/s}, mas atenção: o som que chega em t_r=20\\ \mathrm{s} foi emitido em um instante anterior t_e<20. Então a velocidade relevante do emissor para a formação das frentes de onda é v_B no instante de emissão t_e, não necessariamente v_B(20).

Passo 3

Determinar o instante de emissão t_e. Raciocínio físico e equação:
  • Um pulso sonoro emitido por B no tempo t_e tem posição naquele instante x_B(t_e). Essa frente de onda propaga-se no ar à velocidade c (no sentido de B para A), e atinge A no tempo t_r=20\\ \mathrm{s} quando a posição da frente coincide com x_A(t_r). A condição de chegada é
    x_B(t_e)-c\bigl(t_r-t_e\bigr)=x_A(t_r).
    (a subtração aparece porque a frente se desloca no sentido da diminuição de x — de B para A.)
  • Substituindo as expressões:
    \bigl(4t_e+t_e^{2}\bigr)-322(20-t_e)=400.
  • Organizando:
    t_e^{2}+4t_e-322\cdot20+322t_e-400=0
t_e^{2}+326t_e-6840=0.
  • Resolver a quadrática:
    t_e=\frac{-326+\sqrt{326^{2}+4\cdot6840}}{2}
    (descartamos a raiz negativa por não fazer sentido físico aqui).
  • Calculemos numericamente (apenas aritmética direta):
    \Delta=326^{2}+4\cdot6840=133636,\qquad \sqrt{\Delta}\approx365{,}5626.
t_e\approx\frac{-326+365{,}5626}{2}\approx19{,}7813\\ \mathrm{s}.
Portanto o apito que chega em t_r=20\\ \mathrm{s} foi emitido em t_e\approx19{,}7813\\ \mathrm{s}. O intervalo de propagação é
\Delta t=t_r-t_e\approx0{,}2187\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular as velocidades relevantes: velocidade do emissor no instante de emissão e velocidade do observador no instante de recepção.
  • Velocidade do emissor B no instante t_e:
    v_B(t_e)=4+2t_e=4+2\cdot19{,}7813\approx43{,}5626\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do observador A no instante t_r=20\\ \mathrm{s}:
    v_A(20)=40\\ \mathrm{m/s}.
Observação física: as frentes de onda são geradas enquanto o emissor se move; a distância espacial entre frentes (isto é, o comprimento de onda efetivo no ar) depende da velocidade do emissor no momento da emissão, enquanto a taxa com que o observador encontra frentes depende da sua velocidade no momento da recepção. Por isso precisamos usar v_B(t_e) e v_A(t_r).

Passo 5

Deduzir (didaticamente) a relação entre período emitido T e período recebido T'.
  • Seja T=\dfrac{1}{f} o período de emissão (intervalo entre emissões) e T' o intervalo entre chegadas ao observador. Considere duas emissões consecutivas em t_e e t_e+T que são recebidas em t_r e t_r+T'. Aplicando a condição de chegada para ambas e subtraindo as duas equações (cancelam as grandes posições), obtém-se, aproximando deslocamentos em pequenos intervalos por v_B(t_e)T e v_A(t_r)T': -c(T'-T)+\bigl[x_B(t_e+T)-x_B(t_e)\bigr]=x_A(t_r+T')-x_A(t_r).Aproximando diferenças: -c(T'-T)+v_B(t_e)\,T=v_A(t_r)\,T'.Reorganizando: T'(c+v_A(t_r))=T(c+v_B(t_e)).Portanto T'=\;T\cdot\frac{c+v_B(t_e)}{c+v_A(t_r)}.Invertendo para obter a frequência percebida f'=\dfrac{1}{T'}: f' = f\cdot\frac{c+v_A(t_r)}{c+v_B(t_e)}.
Esta expressão é consistente com a derivação direta por contagem de frentes: o numerador leva em conta que o observador está se movendo no ar (aumentando ou diminuindo o encontro de frentes) e o denominador leva em conta que o emissor estava em movimento no momento da emissão (alterando o espaçamento entre frentes).

Passo 6

Aplicar a fórmula obtida, inserindo os valores numéricos:
  • Valores:
    c=322\\ \mathrm{m/s},\quad v_A(20)=40\\ \mathrm{m/s},\quad v_B(t_e)\approx43{,}5626\\ \mathrm{m/s},\quad f=1194\\ \mathrm{Hz}.
  • Calcule a razão:
    \frac{c+v_A}{c+v_B}=\frac{322+40}{322+43{,}5626}=\frac{362}{365{,}5626}\approx0{,}990455.
  • Portanto a frequência percebida:
    f'=1194\times0{,}990455\approx1183{,}3\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma razoável, a frequência percebida pelo passageiro de A no instante em que ele ouve o apito é aproximadamente \,1183\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida de consistência:
  • O resultado é menor que 1194\\ \mathrm{Hz} (esperado, pois B está se afastando do observador no referencial do ar), mas a queda é pequena porque as velocidades dos trens são muito pequenas diante da velocidade do som.
  • Observação: se alguém usasse apenas as velocidades no instante t_r (por exemplo v_B(20)=44\\ \mathrm{m/s}), obteria valor muito próximo (aprox. 1182\\ \mathrm{Hz}). A diferença é pequena porque o tempo de viagem do som é curto e as velocidades mudam pouco nesse intervalo.

Resposta

1183\\ \mathrm{Hz}

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