Dois trens A e B começam a se mover simultaneamente ao longo de trilhos paralelos, a partir de uma estação, no mesmo sentido. O trem A parte do repouso com aceleração constante de
, enquanto o trem B possui a mesma aceleração, mas com velocidade inicial de
. Após 20 s da partida, um passageiro de A ouve o apito de B. Se a frequência do apito é 1194 Hz e a velocidade do som no ar é
, calcule a frequência percebida pelo passageiro nesse instante.
(A) 1086 Hz
(B) 966 Hz
(C) 1122 Hz
(D) 980 Hz
(E) 1086 Hz
(A) 1086 Hz
(B) 966 Hz
(C) 1122 Hz
(D) 980 Hz
(E) 1086 Hz
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Aceleração de ambos os trens:
. - Velocidade inicial do trem
: . - Velocidade inicial do trem
: . - Frequência do apito (em B):
. - Velocidade do som no ar:
. - Um passageiro em
ouve o apito no instante após a partida (isto é, o som chega ao passageiro em ).
- Aceleração de ambos os trens:
-
O que o problema pede:
- Calcular a frequência percebida pelo passageiro de
no instante em que ele ouve o apito (isto é, a frequência recebida em ).
- Calcular a frequência percebida pelo passageiro de
Passo 2
Escrever as posições e velocidades das locomotivas em função do tempo (movimento com aceleração constante a partir da estação em
).
- Para o trem
(parte do repouso, ):
- Para o trem
(velocidade inicial ):
- Especificamente, no instante de recepção
temos E o trem no instante valerá , mas atenção: o som que chega em foi emitido em um instante anterior . Então a velocidade relevante do emissor para a formação das frentes de onda é no instante de emissão , não necessariamente .
Passo 3
Determinar o instante de emissão
. Raciocínio físico e equação:
-
Um pulso sonoro emitido por
no tempo tem posição naquele instante . Essa frente de onda propaga-se no ar à velocidade (no sentido de para ), e atinge no tempo quando a posição da frente coincide com . A condição de chegada é (a subtração aparece porque a frente se desloca no sentido da diminuição de— de para .) -
Substituindo as expressões:
-
Organizando:
-
Resolver a quadrática:(descartamos a raiz negativa por não fazer sentido físico aqui).
-
Calculemos numericamente (apenas aritmética direta):
Portanto o apito que chega em
foi emitido em
. O intervalo de propagação é
Passo 4
Calcular as velocidades relevantes: velocidade do emissor no instante de emissão e velocidade do observador no instante de recepção.
-
Velocidade do emissor
no instante : -
Velocidade do observador
no instante :
Observação física: as frentes de onda são geradas enquanto o emissor se move; a distância espacial entre frentes (isto é, o comprimento de onda efetivo no ar) depende da velocidade do emissor no momento da emissão, enquanto a taxa com que o observador encontra frentes depende da sua velocidade no momento da recepção. Por isso precisamos usar
e
.
Passo 5
Deduzir (didaticamente) a relação entre período emitido
e período recebido
.
- Seja
o período de emissão (intervalo entre emissões) e o intervalo entre chegadas ao observador. Considere duas emissões consecutivas em e que são recebidas em e . Aplicando a condição de chegada para ambas e subtraindo as duas equações (cancelam as grandes posições), obtém-se, aproximando deslocamentos em pequenos intervalos por e : Aproximando diferenças: Reorganizando: Portanto Invertendo para obter a frequência percebida :
Esta expressão é consistente com a derivação direta por contagem de frentes: o numerador leva em conta que o observador está se movendo no ar (aumentando ou diminuindo o encontro de frentes) e o denominador leva em conta que o emissor estava em movimento no momento da emissão (alterando o espaçamento entre frentes).
Passo 6
Aplicar a fórmula obtida, inserindo os valores numéricos:
-
Valores:
-
Calcule a razão:
-
Portanto a frequência percebida:
Arredondando de forma razoável, a frequência percebida pelo passageiro de
no instante em que ele ouve o apito é aproximadamente
.
Passo 7
Comentário final e verificação rápida de consistência:
- O resultado é menor que
(esperado, pois está se afastando do observador no referencial do ar), mas a queda é pequena porque as velocidades dos trens são muito pequenas diante da velocidade do som. - Observação: se alguém usasse apenas as velocidades no instante
(por exemplo ), obteria valor muito próximo (aprox. ). A diferença é pequena porque o tempo de viagem do som é curto e as velocidades mudam pouco nesse intervalo.