Uma partícula é lançada com velocidade inicial \vec{v}_{0} fazendo um ângulo de \mathbf{3 0}^{0} acima da horizontal, de um prédio com altura H em relação ao solo. Despreze os efeitos da resistência do ar. Em relação à situação descrita é correto afirmar que:

Escolha uma ou mais:

□ O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura H é \boldsymbol{v}_{0}.
□ O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que \boldsymbol{v}_{0}.
□ O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H.
□ No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
□ O módulo da componente horizontal \left(\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{x}}\right) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \boldsymbol{v}_{\mathbf{0}}.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que cada afirmação está perguntando.
  • Dado: uma partícula é lançada do topo de um prédio de altura H com velocidade inicial \boldsymbol{v}_{0} fazendo ângulo de 30^\circ acima da horizontal. Despreza-se resistência do ar.
  • Informações numéricas/geométricas que temos (pegar do enunciado):
    • Altura inicial em relação ao solo: H.
    • Velocidade inicial: \boldsymbol{v}_{0}.
    • Direção inicial: 30^\circ acima da horizontal.
As alternativas a serem julgadas são (reescrevendo cada uma para ficar claro o que se pede):
  1. O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura H é \boldsymbol{v}_{0}.
  2. O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que \boldsymbol{v}_{0}.
  3. O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura H (largada do repouso).
  4. No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
  5. O módulo da componente horizontal \left(\boldsymbol{v}_{x}\right) da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que \boldsymbol{v}_{0}.

Passo 2

Definir componentes da velocidade inicial e lembrar as fórmulas básicas (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Escolhemos o eixo x horizontal para a direita e y vertical para cima. Separar a velocidade inicial em componentes é essencial porque a gravidade atua só em y.
  • A decomposição da velocidade inicial em componentes usa trigonometria do triângulo formado por \boldsymbol{v}_0 e o ângulo 30^\circ: \text{componente horizontal:}\quad \boldsymbol{v}_{0x}=\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ,
\text{componente vertical inicial:}\quad \boldsymbol{v}_{0y}=\boldsymbol{v}_0\sin 30^\circ.
(Aqui \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.)
  • Importante: em ausência de resistência do ar, a aceleração horizontal é zero e a aceleração vertical é -g (para baixo), com g>0.

Passo 3

Comportamento da componente horizontal (fórmula e explicação).
  • Como não há força horizontal, a aceleração horizontal é zero, logo a componente horizontal da velocidade é constante: \boldsymbol{v}_x(t)=\boldsymbol{v}_{0x}=\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ\quad\text{para todo }t.
  • Observação numérica rápida: \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866, então \boldsymbol{v}_{0x}\approx 0,866\,\boldsymbol{v}_0, ou seja sempre menor que \boldsymbol{v}_0.

Passo 4

Comportamento da componente vertical (fórmulas e simetria do movimento).
  • A componente vertical varia com o tempo segundo: \boldsymbol{v}_y(t)=\boldsymbol{v}_{0y}-g t=\boldsymbol{v}_0\sin 30^\circ - g t.
  • A posição vertical (altura medida a partir do solo, com y(0)=H) é y(t)=H+\boldsymbol{v}_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2.
  • Um ponto importante: quando a partícula sobe e depois desce cruzando novamente a mesma altura H, a componente vertical terá o mesmo módulo que no lançamento, mas sentido oposto. Mais formal: se em t=0 \boldsymbol{v}_y(0)=\boldsymbol{v}_{0y}, ao voltar à mesma altura (mesma y) a velocidade vertical será \boldsymbol{v}_y=-\boldsymbol{v}_{0y}. Isso decorre da simetria do movimento vertical sob aceleração constante (ou pode-se ver por conservação de energia verticalmente).

Passo 5

Avaliar a alternativa 1 (velocidade quando retorna à altura H) com cálculos explícitos.
  • No instante em que retorna à altura H, temos: \boldsymbol{v}_x=\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ,\qquad \boldsymbol{v}_y=-\boldsymbol{v}_0\sin 30^\circ.
  • O módulo da velocidade é v=\sqrt{\boldsymbol{v}_x^2+\boldsymbol{v}_y^2} =\sqrt{(\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ)^2+(\boldsymbol{v}_0\sin 30^\circ)^2} =\boldsymbol{v}_0\sqrt{\cos^2 30^\circ+\sin^2 30^\circ}.
  • Usando a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, obtemos v=\boldsymbol{v}_0.
  • Conclusão: a alternativa 1 é verdadeira.
(Comentário didático: essa igualdade é uma consequência de a velocidade tangencial depender apenas da combinação das componentes; retornar à mesma altura restaura a mesma energia cinética — a componente vertical mudou de sentido, mas o módulo fica igual.)

Passo 6

Avaliar a alternativa 2 (velocidade imediatamente antes de atingir o solo) usando conservação de energia — explicação passo a passo.
  • A ideia: ao descer da altura H até o solo, a partícula perde energia potencial mgH que vira energia cinética extra. Pela conservação de energia mecânica (sem resistência): \tfrac{1}{2}m v_{\text{solo}}^2 = \tfrac{1}{2}m \boldsymbol{v}_0^2 + m g H.Isolando v_{\text{solo}}: v_{\text{solo}}^2 = \boldsymbol{v}_0^2 + 2 g H.
  • Como 2gH>0 para altura positiva H>0, concluímos que v_{\text{solo}}>\boldsymbol{v}_0.
  • Portanto a alternativa 2 é verdadeira.

Passo 7

Avaliar a alternativa 3 (tempos iguais ao largar da altura H).
  • Tempo para uma partícula largada do repouso (velocidade inicial vertical nula) cair de y=H até y=0: H=\tfrac{1}{2}g t_{\text{queda}}^2 \quad\Rightarrow\quad t_{\text{queda}}=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}.
  • Tempo para a partícula lançada com \boldsymbol{v}_{0y}=\boldsymbol{v}_0\sin 30^\circ chegar ao solo é solução positiva de H+\boldsymbol{v}_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2=0,ou seja \tfrac{1}{2}g t^2-\boldsymbol{v}_{0y}t-H=0.Essa equação tem solução diferente de \sqrt{2H/g} sempre que \boldsymbol{v}_{0y}\neq 0. Para \boldsymbol{v}_{0y}>0 (o caso dado), a partícula sobe primeiro e leva mais tempo até atingir o solo do que a partícula largada do repouso; portanto os tempos NÃO são iguais em geral.
  • Conclusão: a alternativa 3 é falsa (salvo no caso trivial \boldsymbol{v}_{0y}=0, mas o enunciado dá 30^\circ, logo \boldsymbol{v}_{0y}\neq 0).

Passo 8

Avaliar a alternativa 4 (velocidade nula no ponto mais alto).
  • No ponto mais alto do movimento, a componente vertical da velocidade é zero: \boldsymbol{v}_y=0.
  • Entretanto a componente horizontal permanece igual a \boldsymbol{v}_{0x}=\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ, que é diferente de zero.
  • Logo o módulo da velocidade no ponto mais alto é v_{\text{máx}}=|\boldsymbol{v}_x|=\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ\neq 0.á
  • Portanto a alternativa 4 é falsa.

Passo 9

Avaliar a alternativa 5 (componente horizontal em qualquer instante é maior que \boldsymbol{v}_0).
  • Já vimos que a componente horizontal é constante e igual a \boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ.
  • Como \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866<1, tem-se \boldsymbol{v}_x=\boldsymbol{v}_0\cos 30^\circ<\boldsymbol{v}_0.
  • Logo a afirmação de que \boldsymbol{v}_x é maior que \boldsymbol{v}_0 em qualquer instante é falsa.

Resposta

O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura H é \boldsymbol{v}_{0}.
O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que \boldsymbol{v}_{0}.

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