Uma partícula é lançada com velocidade inicial
fazendo um ângulo de
acima da horizontal, de um prédio com altura H em relação ao solo. Despreze os efeitos da resistência do ar. Em relação à situação descrita é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
□ O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura
é
.
□ O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que
.
□ O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura
.
□ No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
□ O módulo da componente horizontal
da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que
.
□ O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que
□ O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura
□ No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
□ O módulo da componente horizontal
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que cada afirmação está perguntando.
- Dado: uma partícula é lançada do topo de um prédio de altura
com velocidade inicial fazendo ângulo de acima da horizontal. Despreza-se resistência do ar. - Informações numéricas/geométricas que temos (pegar do enunciado):
- Altura inicial em relação ao solo:
. - Velocidade inicial:
. - Direção inicial:
acima da horizontal.
- Altura inicial em relação ao solo:
As alternativas a serem julgadas são (reescrevendo cada uma para ficar claro o que se pede):
- O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura
é . - O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que
. - O tempo gasto pela partícula para atingir o solo é igual ao tempo gasto se a partícula for abandonada da altura
(largada do repouso). - No instante em que a partícula atinge a altura máxima a velocidade da partícula é nula.
- O módulo da componente horizontal
da velocidade da partícula em qualquer instante do movimento é maior que .
Passo 2
Definir componentes da velocidade inicial e lembrar as fórmulas básicas (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Escolhemos o eixo
horizontal para a direita e vertical para cima. Separar a velocidade inicial em componentes é essencial porque a gravidade atua só em . - A decomposição da velocidade inicial em componentes usa trigonometria do triângulo formado por
e o ângulo :
(Aqui
e
.)
- Importante: em ausência de resistência do ar, a aceleração horizontal é zero e a aceleração vertical é
(para baixo), com .
Passo 3
Comportamento da componente horizontal (fórmula e explicação).
- Como não há força horizontal, a aceleração horizontal é zero, logo a componente horizontal da velocidade é constante:
- Observação numérica rápida:
, então , ou seja sempre menor que .
Passo 4
Comportamento da componente vertical (fórmulas e simetria do movimento).
- A componente vertical varia com o tempo segundo:
- A posição vertical (altura medida a partir do solo, com
) é - Um ponto importante: quando a partícula sobe e depois desce cruzando novamente a mesma altura
, a componente vertical terá o mesmo módulo que no lançamento, mas sentido oposto. Mais formal: se em , ao voltar à mesma altura (mesma ) a velocidade vertical será . Isso decorre da simetria do movimento vertical sob aceleração constante (ou pode-se ver por conservação de energia verticalmente).
Passo 5
Avaliar a alternativa 1 (velocidade quando retorna à altura
) com cálculos explícitos.
- No instante em que retorna à altura
, temos: - O módulo da velocidade é
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos - Conclusão: a alternativa 1 é verdadeira.
(Comentário didático: essa igualdade é uma consequência de a velocidade tangencial depender apenas da combinação das componentes; retornar à mesma altura restaura a mesma energia cinética — a componente vertical mudou de sentido, mas o módulo fica igual.)
Passo 6
Avaliar a alternativa 2 (velocidade imediatamente antes de atingir o solo) usando conservação de energia — explicação passo a passo.
- A ideia: ao descer da altura
até o solo, a partícula perde energia potencial que vira energia cinética extra. Pela conservação de energia mecânica (sem resistência): Isolando : - Como
para altura positiva , concluímos que - Portanto a alternativa 2 é verdadeira.
Passo 7
Avaliar a alternativa 3 (tempos iguais ao largar da altura
).
- Tempo para uma partícula largada do repouso (velocidade inicial vertical nula) cair de
até : - Tempo para a partícula lançada com
chegar ao solo é solução positiva de ou seja Essa equação tem solução diferente de sempre que . Para (o caso dado), a partícula sobe primeiro e leva mais tempo até atingir o solo do que a partícula largada do repouso; portanto os tempos NÃO são iguais em geral. - Conclusão: a alternativa 3 é falsa (salvo no caso trivial
, mas o enunciado dá , logo ).
Passo 8
Avaliar a alternativa 4 (velocidade nula no ponto mais alto).
- No ponto mais alto do movimento, a componente vertical da velocidade é zero:
. - Entretanto a componente horizontal permanece igual a
, que é diferente de zero. - Logo o módulo da velocidade no ponto mais alto é
- Portanto a alternativa 4 é falsa.
Passo 9
Avaliar a alternativa 5 (componente horizontal em qualquer instante é maior que
).
- Já vimos que a componente horizontal é constante e igual a
. - Como
, tem-se - Logo a afirmação de que
é maior que em qualquer instante é falsa.
Resposta
O módulo da velocidade da partícula quando retorna à altura
é
.
O módulo da velocidade da partícula imediatamente antes de atingir o solo é maior que
.