9.30 Mostre que |v1 cdot(v2 times v3)| <=|v1||v2||v3|.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dados três vetores v1,v2,v3 em R^3, vale
l|v1cdot(v2timesv3)r|<=|v1|;|v2|;|v3|
O conteúdo aqui envolve duas propriedades básicas: a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o produto escalar e a fórmula da norma do produto vetorial.

Passo 2

Definimos w = v2timesv3. Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz para produto escalar, temos
l|v1cdotwr|<=|v1|;|w|

Passo 3

Agora usamos a propriedade do produto vetorial, segundo a qual
|w| = |v2timesv3| = |v2|;|v3|;|sintheta|<=|v2|;|v3|,
sendo theta o ângulo entre v2 e v3.

Passo 4

Bastou combinar as duas desigualdades:
l|v1cdot(v2timesv3)r| = l|v1cdotwr| <=|v1|;|w| <=|v1|;|v2|;|v3|

Resposta

boxedl|v1cdot(v2timesv3)r|<=|v1|;|v2|;|v3|,

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