9.29 Em um tetraedro A B C D, mostre que a altura relativa à face A B C é dada por:
|A B cdot(A C times A D)||A B times A C|

Passo 1

O enunciado pede a altura do vértice D ao plano que contém a face ABC de um tetraedro ABCD. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar que a distância de um ponto a um plano é o valor absoluto do produto escalar entre o vetor que vai de um ponto do plano até o ponto e o versor normal ao plano.

Passo 2

O plano ABC contém o ponto A e é gerado pelos vetores AB e AC. Logo, um vetor normal a esse plano é
n ;=;ABtimesAC

Passo 3

A distância (altura) de D ao plano ABC é dada por
h ;=;l|,( AD )cdotwidehatnr|,
onde widehatn é o versor normal ao plano.

Passo 4

O versor normal é
widehatn =nlVertnrVert =ABtimesACllvertABtimesACrrvert,
então
h =l|ADcdotABtimesAClvertABtimesACrvertr| =l|ADcdot(ABtimesAC)r|lvertABtimesACrvert

Passo 5

Pela propriedade cíclica do triplo produto escalar temos
ADcdot(ABtimesAC) =ABcdot(ACtimesAD),
de modo que a expressão fica exatamente
h =l|ABcdot(ACtimesAD)r|% llvertABtimesACrrvert

Resposta

boxed,h=l|ABcdot(ACtimesAD)r|% llvertABtimesACrrvert,

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