9.26 Se v cdot w1=0 e v cdot w2=0, mostre que v é ortogonal a qualquer combinação linear dos vetores w1 e w2.

Passo 1

O enunciado diz que temos um vetor v tal que
vcdotw1=0 e vcdotw2=0,
e nos pede para mostrar que v é ortogonal a qualquer combinação linear
alphaw1+betaw2.
O conteúdo aqui é o produto interno em espaços vetoriais e a propriedade de bilinearidade (linearidade em cada argumento).

Passo 2

Seja um vetor qualquer na combinação linear,
u = alpha,w1 + beta,w2,
com escalares alpha,beta.
Usando a propriedade de linearidade do produto interno em sua segunda entrada, temos
vcdotu = vcdotl(alpha,w1 + beta,w2r) = alpha,(vcdotw1) + beta,(vcdotw2)

Passo 3

Como vcdotw1=0 e vcdotw2=0,
substituindo na expressão acima obtemos
vcdotu = alphacdot 0 + betacdot 0 = 0
Isso mostra que v é ortogonal a u, que era uma combinação
linear arbitrária de w1 e w2.

Resposta

v é ortogonal a qualquer combinação linear alphaw1+betaw2 porque
vcdot(alphaw1+betaw2)=0.

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