9.26 Se
e
, mostre que
é ortogonal a qualquer combinação linear dos vetores
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um vetor
tal que
e
,
e nos pede para mostrar que é ortogonal a qualquer combinação linear
.
O conteúdo aqui é o produto interno em espaços vetoriais e a propriedade de bilinearidade (linearidade em cada argumento).
e nos pede para mostrar que
O conteúdo aqui é o produto interno em espaços vetoriais e a propriedade de bilinearidade (linearidade em cada argumento).
Passo 2
Seja um vetor qualquer na combinação linear,
com escalares
.
Usando a propriedade de linearidade do produto interno em sua segunda entrada, temos
Usando a propriedade de linearidade do produto interno em sua segunda entrada, temos
Passo 3
Como
e
,
substituindo na expressão acima obtemos
substituindo na expressão acima obtemos
Isso mostra que
é ortogonal a
, que era uma combinação
linear arbitrária de e
.
linear arbitrária de