- (30 Pontos) Água flui de um tanque aberto de grandes dimensões através de uma tubulação de
de diâmetro (D). Um tubo em formato de U, preenchido com mercúrio e aberto ao ambiente em uma das extremidades, é utilizado para estimar a pressão no ponto 2 . Determine a velocidade da água na tubulação (ponto 2) e a vazão de descarga sabendo que a diferença do nível do tanque para a tubulação
é de 10 m . Dados: deflexão do manômetro de mercúrio
; altura da coluna de água
;
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e da figura):
- Dados numéricos fornecidos:
-
(diferença do nível do tanque para a tubulação) — peguei da figura/enunciado. - Deflexão do manômetro de mercúrio:
— peguei da figura/enunciado. - Altura da coluna de água sobre o mercúrio no ramo ligado ao ponto
: — peguei da figura/enunciado. - Diâmetro da tubulação:
— peguei da figura/enunciado. - Pressão atmosférica:
. - Peso específico do mercúrio:
. - Peso específico da água:
. - Aceleração da gravidade:
.
-
- O que o enunciado pede:
- Determinar a velocidade da água na tubulação no ponto
, . - Determinar a vazão de descarga
correspondente.
Observação: há um manômetro em U com mercúrio; vamos relacionar a pressão emcom a pressão atmosférica usando as colunas (água e mercúrio) mostradas.
- Determinar a velocidade da água na tubulação no ponto
Passo 2
Entendendo e escrevendo a relação do manômetro (princípio da estática dos fluidos).
- Regra básica de estática: ao descer uma coluna de fluido de densidade
por uma altura , a pressão aumenta em . Em símbolos: se desço da superfície para um ponto mais baixo, . - No nosso manômetro: chamemos de
a pressão na superfície do mercúrio do lado ligado ao ponto e de a pressão na superfície do mercúrio do lado aberto ao ar. As pressões na superfície do mercúrio estão ligadas por: onde é a diferença vertical entre as superfícies do mercúrio (deflexão do manômetro). Esta fórmula decorre de comparar pressões em dois pontos diferentes do mesmo fluido (mercúrio). - Agora relacionamos
e aos meios acima deles: - No ramo ligado ao ponto
, imediatamente acima do mercúrio há água com altura em relação ao mercúrio. Então, descendo de até a superfície do mercúrio naquele ramo, a pressão aumenta: Aqui é a pressão no ponto dentro da tubulação. - No ramo aberto, a superfície do mercúrio está exposta à atmosfera (pressão
), então
- No ramo ligado ao ponto
- Substituindo essas expressões em
obtemos: - Isolando
:
Passo 3
Cálculo numérico da pressão em
.
- Substituindo os valores:
- Calculando os termos:
- Assim
- Observação útil (vai facilitar depois): a pressão acima da atmosférica em
é
Passo 4
Aplicando Bernoulli entre a superfície livre do tanque (ponto 1) e o ponto
.
- Fórmula de Bernoulli (sem perdas) na forma de cargas (head) para um fluido incompressível:
Onde: -
é pressão (Pa), -
é peso específico do fluido ( ), -
é cota vertical (m), -
é velocidade (m/s), -
é aceleração da gravidade (m/s^2).
-
- Escolho como pontos:
- Ponto
: superfície livre do tanque: , (tanque muito grande), (referência vertical medida até o nível de ). - Ponto
: dentro da tubulação: calculado, , velocidade .
- Ponto
- Aplicando Bernoulli entre
e : - Isolando
:
Observação:
pode ser negativo se
: isso reduz a cabeça disponível para velocidade.
Passo 5
Cálculo numérico da velocidade
.
- Primeiro calcule o termo
: - Então
- Multiplicando por
: - Portanto
Passo 6
Cálculo da vazão volumétrica
.
- Área da seção circular da tubulação:
- Vazão:
Passo 7
Verificação rápida de ordem de grandeza e unidades (confiança).
- Velocidade
é coerente com uma cabeça efetiva de (pois ). - Vazão
corresponde a , um valor compatível para um diâmetro de e essa velocidade.