1. (30 Pontos) Água flui de um tanque aberto de grandes dimensões através de uma tubulação de 0,1 \mathrm{~m} de diâmetro (D). Um tubo em formato de U, preenchido com mercúrio e aberto ao ambiente em uma das extremidades, é utilizado para estimar a pressão no ponto 2 . Determine a velocidade da água na tubulação (ponto 2) e a vazão de descarga sabendo que a diferença do nível do tanque para a tubulação (\mathrm{H}) é de 10 m . Dados: deflexão do manômetro de mercúrio \left(\mathrm{h}_{1}\right)=0,3 \mathrm{~m}; altura da coluna de água \left(\mathrm{h}_{2}\right)=1,0 \mathrm{~m} ; \mathrm{P}_{\mathrm{atm}}=101.325 \mathrm{~Pa} ; \gamma_{\mathrm{Hg}}=136.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}; \gamma_{\text {água }}=10.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado e da figura):
  • Dados numéricos fornecidos:
    • H=10\\ \text{m} (diferença do nível do tanque para a tubulação) — peguei da figura/enunciado.
    • Deflexão do manômetro de mercúrio: h_1=0,3\\ \text{m} — peguei da figura/enunciado.
    • Altura da coluna de água sobre o mercúrio no ramo ligado ao ponto 2: h_2=1,0\\ \text{m} — peguei da figura/enunciado.
    • Diâmetro da tubulação: D=0,1\\ \text{m} — peguei da figura/enunciado.
    • Pressão atmosférica: P_{\mathrm{atm}}=101.325\\ \text{Pa}.
    • Peso específico do mercúrio: \gamma_{\mathrm{Hg}}=136.000\\ \text{N}/\text{m}^3.
    • Peso específico da água: \gamma_{\text{água}}=10.000\\ \text{N}/\text{m}^3á.
    • Aceleração da gravidade: g=10\\ \text{m}/\text{s}^2.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a velocidade da água na tubulação no ponto 2, v_2.
    2. Determinar a vazão de descarga Q correspondente.
      Observação: há um manômetro em U com mercúrio; vamos relacionar a pressão em 2 com a pressão atmosférica usando as colunas (água e mercúrio) mostradas.

Passo 2

Entendendo e escrevendo a relação do manômetro (princípio da estática dos fluidos).
  • Regra básica de estática: ao descer uma coluna de fluido de densidade \gamma por uma altura \Delta z, a pressão aumenta em \gamma\,\Delta z. Em símbolos: se desço da superfície para um ponto mais baixo, p_{\text{baixo}}=p_{\text{cima}}+\gamma\,\Delta z.
  • No nosso manômetro: chamemos de p_{M1} a pressão na superfície do mercúrio do lado ligado ao ponto 2 e de p_{M2} a pressão na superfície do mercúrio do lado aberto ao ar. As pressões na superfície do mercúrio estão ligadas por: p_{M1}-p_{M2}=\gamma_{\mathrm{Hg}}\,h_1,onde h_1 é a diferença vertical entre as superfícies do mercúrio (deflexão do manômetro). Esta fórmula decorre de comparar pressões em dois pontos diferentes do mesmo fluido (mercúrio).
  • Agora relacionamos p_{M1} e p_{M2} aos meios acima deles:
    • No ramo ligado ao ponto 2, imediatamente acima do mercúrio há água com altura h_2 em relação ao mercúrio. Então, descendo de 2 até a superfície do mercúrio naquele ramo, a pressão aumenta: p_{M1}=p_2+\gamma_{\text{água}}\,h_2.áAqui p_2 é a pressão no ponto 2 dentro da tubulação.
    • No ramo aberto, a superfície do mercúrio está exposta à atmosfera (pressão P_{\mathrm{atm}}), então p_{M2}=P_{\mathrm{atm}}.
  • Substituindo essas expressões em p_{M1}-p_{M2}=\gamma_{\mathrm{Hg}}\,h_1 obtemos: (p_2+\gamma_{\text{água}}\,h_2)-P_{\mathrm{atm}}=\gamma_{\mathrm{Hg}}\,h_1.á
  • Isolando p_2: p_2 = P_{\mathrm{atm}} + \gamma_{\mathrm{Hg}}\,h_1 - \gamma_{\text{água}}\,h_2.á

Passo 3

Cálculo numérico da pressão em 2.
  • Substituindo os valores: p_2 = 101\,325\\ \text{Pa} + 136\,000\cdot0,3\\ \text{Pa} - 10\,000\cdot1,0\\ \text{Pa}.
  • Calculando os termos: \gamma_{\mathrm{Hg}}\,h_1 = 136\,000\cdot0,3 = 40\,800\\ \text{Pa},
\gamma_{\text{água}}\,h_2 = 10\,000\cdot1,0 = 10\,000\\ \text{Pa}.á
  • Assim p_2 = 101\,325 + 40\,800 - 10\,000 = 132\,125\\ \text{Pa}.
  • Observação útil (vai facilitar depois): a pressão acima da atmosférica em 2 é p_2-P_{\mathrm{atm}} = 132\,125 - 101\,325 = 30\,800\\ \text{Pa}.

Passo 4

Aplicando Bernoulli entre a superfície livre do tanque (ponto 1) e o ponto 2.
  • Fórmula de Bernoulli (sem perdas) na forma de cargas (head) para um fluido incompressível: \frac{p}{\gamma} + z + \frac{v^2}{2g} = \text{constante}.Onde:
    • p é pressão (Pa),
    • \gamma é peso específico do fluido ( \text{N}/\text{m}^3),
    • z é cota vertical (m),
    • v é velocidade (m/s),
    • g é aceleração da gravidade (m/s^2).
  • Escolho como pontos:
    • Ponto 1: superfície livre do tanque: p_1=P_{\mathrm{atm}}, v_1\approx0 (tanque muito grande), z_1=H (referência vertical medida até o nível de 2).
    • Ponto 2: dentro da tubulação: p_2 calculado, z_2=0, velocidade v_2=v.
  • Aplicando Bernoulli entre 1 e 2: \frac{P_{\mathrm{atm}}}{\gamma_{\text{água}}} + H + 0 = \frac{p_2}{\gamma_{\text{água}}} + 0 + \frac{v^2}{2g}.áá
  • Isolando \dfrac{v^2}{2g}: \frac{v^2}{2g} = \frac{P_{\mathrm{atm}}-p_2}{\gamma_{\text{água}}} + H.á
Observação: \dfrac{P_{\mathrm{atm}}-p_2}{\gamma_{\text{água}}}á pode ser negativo se p_2>P_{\mathrm{atm}}: isso reduz a cabeça disponível para velocidade.

Passo 5

Cálculo numérico da velocidade v.
  • Primeiro calcule o termo \dfrac{P_{\mathrm{atm}}-p_2}{\gamma_{\text{água}}}á: \frac{P_{\mathrm{atm}}-p_2}{\gamma_{\text{água}}} = \frac{101\,325 - 132\,125}{10\,000} = \frac{-30\,800}{10\,000} = -3,08\\ \text{m}.á
  • Então \frac{v^2}{2g} = -3,08 + H = -3,08 + 10 = 6,92\\ \text{m}.
  • Multiplicando por 2g=2\cdot10=20: v^2 = 20\cdot6,92 = 138,4.
  • Portanto v = \sqrt{138,4} \approx 11,78\\ \text{m/s}.

Passo 6

Cálculo da vazão volumétrica Q.
  • Área da seção circular da tubulação: A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\cdot(0,1)^2}{4} = \frac{\pi\cdot0,01}{4} = 0,00785398\\ \text{m}^2\\ (\text{aprox.}).
  • Vazão: Q = A\,v = 0,00785398\cdot11,78 \approx 0,0926\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza e unidades (confiança).
  • Velocidade v\sim 12\\ \text{m/s} é coerente com uma cabeça efetiva de \sim 6{,}9\\ \text{m} (pois v^2/(2g)\approx6{,}92\\ \text{m}).
  • Vazão Q\sim 9{,}3\times10^{-2}\\ \text{m}^3/\text{s} corresponde a \sim5{,}6\\ \text{m}^3/\text{h}, um valor compatível para um diâmetro de 0,1\\ \text{m} e essa velocidade.

Resposta

v_2 \approx 11,78\\ \text{m/s}
Q \approx 0,0926\\ \text{m}^3/\text{s}

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