Uma cidade possui um sistema de abastecimento de água inaugurado em 1947, constituído por uma tubulação de 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro, 684 m de comprimento e uma bomba de rotação 1750 rpm com curva característica dada na tabela a seguir. A altura geométrica é de 30 m . Em 1947, o coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams era C= 130 hoje, devido ao envelhecimento da tubulação, o coeficiente de rugosidade vale \mathrm{C}= 80. Encontre as equações características dos sistemas (em 1947 e atual) e encontre o ponto de funcionamento para cada caso ( \mathrm{Q}, \mathrm{H} e \eta ). Para isto, desenhe as curvas (à mão, no autocad ou excel). Utilizando a mesma bomba, o que poderia ser feito para que seja recalcada a mesma vazão que era recalcada em 1947?
\left(\mathrm{Q}=89 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, \mathrm{H}=40 \mathrm{~m}, \eta=76 \% ; \mathrm{Q}=68 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, \mathrm{H}=45 \mathrm{~m}, \eta=65 \%\right)
\mathbf{Q}\left(\mathbf{m}^{3} / \mathbf{h}\right) 20 40 60 80 100 120
\mathbf{H}(\mathbf{m}) 50 48 46 42,5 36,5 28
\mathbf{H}(\%) 40 50 60 70 80 70

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado que você mandou).
Dados do sistema e da bomba:
  • Diâmetro da tubulação: D=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=684\\ \mathrm{m}.
  • Altura geométrica fixa: H_{\text{geom}}=30\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da bomba: n=1750\\ \mathrm{rpm} (será usada depois, se preciso).
  • Coeficiente de Hazen–Williams em 1947: C=130.
  • Coeficiente de Hazen–Williams atual: C=80.
  • Tabela da curva da bomba (você forneceu): vazões Q em \mathrm{m^3/h}, alturas H em \mathrm{m} e eficiências \eta em \%:
    • \,Q=20\Rightarrow H=50,\\ \eta=40\%.
    • \,Q=40\Rightarrow H=48,\\ \eta=50\%.
    • \,Q=60\Rightarrow H=46,\\ \eta=60\%.
    • \,Q=80\Rightarrow H=42{,}5,\\ \eta=70\%.
    • \,Q=100\Rightarrow H=36{,}5,\\ \eta=80\%.
    • \,Q=120\Rightarrow H=28,\\ \eta=70\%.
O que o enunciado pede:
  1. Encontrar a equação característica da bomba (curva H_{\text{bomba}}(Q)).
  2. Encontrar a(s) equação(ões) característica(s) do sistema hidráulico (curva do sistema) para 1947 e para hoje (isto é, H_{\text{sis}}(Q)=H_{\text{geom}}+h_f(Q) com perdas por atrito calculadas por Hazen–Williams).
  3. Determinar o ponto de funcionamento (interseção bomba × sistema) em cada caso: Q, H e \eta.
  4. Sugerir o que fazer, usando a mesma bomba, para recuperar a vazão que existia em 1947.
Observação: a resolução a seguir mostra como obter as equações, como montar a expressão das perdas pela fórmula de Hazen–Williams no SI (com conversão de unidades), como resolver numericamente a interseção e como estimar a eficiência no ponto de operação.

Passo 2

Achar uma equação contínua para a curva da bomba (fácil e prática em provas): ajustamos um polinômio quadrático do tipo
H_{\text{bomba}}(Q)=aQ^{2}+bQ+c,
em que [Q) está em \mathrm{m^3/h} (mantemos as mesmas unidades da tabela para facilitar a interseção direta). Escolhi ajustar o polinômio por três pontos representativos da tabela (pode-se usar ajuste por mínimos quadrados com todos os pontos, mas três pontos bastam para um quadrático). Usei os pontos (Q,H)=(20,50),(80,42{,}5),(120,28).
Montando o sistema linear para a,b,c:
\begin{cases} 400a+20b+c=50,\\[4pt] 6400a+80b+c=42{,}5,\\[4pt] 14400a+120b+c=28. \end{cases}
Subtraindo adequadamente e resolvendo (algébrica direta), obtém-se
a=-0{,}002375,\qquad b=0{,}1125,\qquad c=48{,}7.
Logo a equação da bomba (em \mathrm{m}\], \(Q em \mathrm{m^3/h}) é
\boxed{\,H_{\text{bomba}}(Q)=-0{,}002375\,Q^{2}+0{,}1125\,Q+48{,}7\,.}
Comentário didático rápido: a curva de uma bomba centrífuga costuma ser aproximadamente quadrática (a queda de cabeça cresce com o quadrado da vazão), por isso o ajuste quadrático é natural e prático em provas.]

Passo 3

Agora a curva do sistema. Usamos a fórmula de Hazen–Williams no SI para perda de carga por atrito em conduta lisa/roscas:
h_f = 10{,}67\,\dfrac{L\,q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},
onde
  • h_f é a perda por atrito em \mathrm{m},
  • L é o comprimento em \mathrm{m},
  • q é a vazão em \mathrm{m^3/s},
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro em \mathrm{m}.
Na nossa notação preferimos manter Q em \mathrm{m^3/h}. Como q=Q/3600, substituímos e agrupamos as constantes para escrever
h_f(Q)=K\,Q^{1{,}852},
com
K=\dfrac{10{,}67\,L}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}\,3600^{1{,}852}}.
Isto facilita a resolução porque a dependência em Q fica numa potência única. Agora calculo K numericamente com os dados L=684\\ \mathrm{m} e D=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Cálculo numérico (passo a passo):
  • Primeiro calculei 10{,}67\cdot L=10{,}67\cdot684=7298{,}28.
  • Para D^{4{,}87} com D=0{,}15\\ \mathrm{m}: D^{4{,}87}\approx 9{,}67\times10^{-5}.
  • Para 3600^{1{,}852} obtemos um número da ordem de 3{,}86\times10^{6}.
  • Para C^{1{,}852} temos dois casos:
    • se C=130: C^{1{,}852}\approx 8{,}2\times10^{3}.
    • se C=80: C^{1{,}852}\approx 3{,}33\times10^{3}.
Agora calculo K em cada caso (apenas números finais arredondados com 3 casas significativas úteis):
  • Para C=130 (1947): K_{130}\approx 0{,}00238.
  • Para C=80 (atual): K_{80}\approx 0{,}00585.
Portanto as curvas do sistema (somando a altura geométrica) são:
\boxed{\,H_{\text{sis,1947}}(Q)=30+0{,}00238\,Q^{1{,}852}\,}
e
\boxed{\,H_{\text{sis,hoje}}(Q)=30+0{,}00585\,Q^{1{,}852}\,}
novamente com Q em \mathrm{m^3/h} e H em \mathrm{m}.
Observação didática: a potência 1{,}852 vem da formulação empírica de Hazen–Williams; por isso a curva do sistema não é quadrática exata, é uma curva subquadrática próxima do comportamento real. O termo fixo 30\\ \mathrm{m} é a diferença de nível geométrica — não depende de Q.

Passo 4

Encontrar os pontos de funcionamento = interseção entre H_{\text{bomba}}(Q) e H_{\text{sis}}(Q). Temos que resolver numericamente para cada caso:
H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sis}}(Q).
Vou fazer a solução por avaliação e interpolação (método simples e robusto em prova). Apresento os passos de cálculo numérico e as avaliações.
Caso 1947 ( C=130):
  • Equação a resolver: -0{,}002375Q^{2}+0{,}1125Q+48{,}7 = 30 + 0{,}00238\,Q^{1{,}852}.
  • Teste em Q=89\\ \mathrm{m^3/h} (chute razoável pela tabela):
    • H_{\text{bomba}}(89)=-0{,}002375\cdot89^{2}+0{,}1125\cdot89+48{,}7\approx39{,}87\\ \mathrm{m}.
    • H_{\text{sis,1947}}(89)=30+0{,}00238\cdot89^{1{,}852}\approx39{,}68\\ \mathrm{m}.
  • As duas alturas são muito próximas (diferença pequena, \sim0{,}2\\ \mathrm{m}), portanto o ponto de operação fica em torno de Q_{\text{1947}}\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h},\qquad H_{\text{op,1947}}\approx 39{,}9\\ \mathrm{m}.
Fiz uma pequena interpolação entre valores vizinhos para reduzir erro numérico e obtive essencialmente H\approx 40\\ \mathrm{m}.
Caso atual ( C=80):
  • Equação a resolver: -0{,}002375Q^{2}+0{,}1125Q+48{,}7 = 30 + 0{,}00585\,Q^{1{,}852}.
  • Testes rápidos:
    • Em Q=68: H_{\text{bomba}}(68)\approx45{,}37\\ \mathrm{m}, H_{\text{sis,hoje}}(68)\approx44{,}5\\ \mathrm{m} (bomba acima do sistema).
    • Em Q=70: H_{\text{bomba}}(70)\approx44{,}94\\ \mathrm{m}, H_{\text{sis,hoje}}(70)\approx45{,}33\\ \mathrm{m} (sistema acima da bomba).
  • Logo a interseção está entre 68 e 70. Fazendo interpolação linear simples entre os pontos testados (ou avaliando em Q=69{,}5), obtém-se: Q_{\text{hoje}}\approx 69{,}5\\ \mathrm{m^3/h},\qquad H_{\text{op,hoje}}\approx45{,}04\\ \mathrm{m}.
Comentário: dependendo de pequenas diferenças nas constantes (arredondamentos, uso de todos os pontos para ajuste da curva da bomba, etc.), obtém-se Q_{\text{hoje}} entre cerca de 68 e 70\\ \mathrm{m^3/h} e H_{\text{op,hoje}} próximo de 45\\ \mathrm{m}. Isso conecta bem com os valores dados no enunciado-sugestão.

Passo 5

Cálculo da eficiência \eta no ponto de operação. A tabela dá \eta em pontos discretos. A maneira prática em prova é interpolar linearmente entre dois pontos de tabela vizinhos ao Q de operação.
  • Para Q_{\text{1947}}\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h}: está entre Q=80 ( \eta=70\%) e Q=100 ( \eta=80\%). Interpolação linear:
    \eta(89)\approx 70\% + \dfrac{89-80}{100-80}\cdot(80\%-70\%) =70\% + \dfrac{9}{20}\cdot10\%=70\%+4{,}5\%=74{,}5\%.
    Por arredondamento prático, isto dá \eta\approx75\%. (Se usar outro ajuste polinomial da curva de eficiência obtém-se valor ligeiramente diferente; o enunciado sugere \eta\approx76\%.)
  • Para Q_{\text{hoje}}\approx69{,}5\\ \mathrm{m^3/h}: está entre Q=60 ( \eta=60\%) e Q=80 ( \eta=70\%). Interpolação linear:
    \eta(69{,}5)\approx 60\% + \dfrac{69{,}5-60}{80-60}\cdot(70\%-60\%) =60\% + \dfrac{9{,}5}{20}\cdot10\%=60\%+4{,}75\%=64{,}75\%.
    Arredondando: \eta\approx65\%, que coincide com o valor sugerido no enunciado.
Resumo numérico (valores que retive como resultados práticos):
  • Em 1947 (com C=130): Q\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h}, H\approx 39{,}9\\ \mathrm{m}, \eta\approx 74{,}5\% (arredondar para 75\% 76\% conforme ajuste).
  • Hoje (com C=80): Q\approx 69{,}5\\ \mathrm{m^3/h}, H\approx45{,}0\\ \mathrm{m}, \eta\approx64{,}8\% (arredondar para 65\%).

Passo 6

Interpretação física e sugestão: o que pode ser feito para, usando a mesma bomba, recalcadar a vazão de 1947?
Opções práticas (explicadas; em prova cite as mais relevantes):
  1. Reabilitar/substituir a tubulação para reduzir a rugosidade (aumentar C de 80 para valores próximos de 130). Se C voltar a 130, a curva do sistema volta à original e a vazão recupera-se (é a solução “corrigir o sistema”).
  2. Aumentar o diâmetro efetivo (substituir por tubulação maior ou instalar um trecho paralelo). Perdas h_f caem fortemente com D^{4{,}87} — portanto aumentar D é muito eficiente para reduzir perdas.
  3. Aumentar a rotação da bomba (usar um inversor de frequência / trocar a polia), pois por leis de afinidade: Q\propto n,\qquad H\propto n^{2}.Para recuperar Q_{\text{1947}} mantendo o mesmo tipo de bomba, calcularia n' = n\frac{Q_{\text{desejada}}}{Q_{\text{atual}}}. Com nossos números: n' \approx 1750\\ \mathrm{rpm}\cdot \dfrac{89}{69{,}5}\approx 1750\cdot1{,}28\approx2240\\ \mathrm{rpm}.Ou seja, seria necessário aumentar a rotação para cerca de 2{,}240\\ \mathrm{rpm} (se possível e seguro para a bomba). Isso aumenta também a potência requerida (cerca de (n'/n)^3 vezes a potência), então verificar motor e estrutura.
  4. Outra opção: instalar uma bomba em paralelo (ou seja, duas bombas iguais em paralelo) para aumentar a vazão sem aumentar rotações — porém isto implica investimento em equipamentos.
Em resumo prático: a ação mais direta e duradoura é reduzir as perdas da tubulação (reabilitar/substituir a rede ou aumentar diâmetro). A solução por aumento de velocidade é tecnicamente possível (inversor), mas requer checar limites mecânicos e potência do motor.

Resposta

Q_{\text{1947}}\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h},\\ H_{\text{op,1947}}\approx 39{,}9\\ \mathrm{m},\\ \eta_{\text{op,1947}}\approx 74{,}5\%
Q_{\text{hoje}}\approx 69{,}5\\ \mathrm{m^3/h},\\ H_{\text{op,hoje}}\approx 45{,}0\\ \mathrm{m},\\ \eta_{\text{op,hoje}}\approx 64{,}8\%

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