Uma cidade possui um sistema de abastecimento de água inaugurado em 1947, constituído por uma tubulação de 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro, 684 m de comprimento e uma bomba de rotação 1750 rpm com curva característica dada na tabela a seguir. A altura geométrica é de 30 m . Em 1947, o coeficiente de rugosidade de Hazen-Williams era C= 130 hoje, devido ao envelhecimento da tubulação, o coeficiente de rugosidade vale \mathrm{C}= 80. Encontre as equações características dos sistemas (em 1947 e atual) e encontre o ponto de funcionamento para cada caso ( \mathrm{Q}, \mathrm{H} e \eta ). Para isto, desenhe as curvas (à mão, no autocad ou excel). Utilizando a mesma bomba, o que poderia ser feito para que seja recalcada a mesma vazão que era recalcada em 1947? \left(\mathrm{Q}=89 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, \mathrm{H}=40 \mathrm{~m}, \eta=76 \% ; \mathrm{Q}=68 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}, \mathrm{H}=45 \mathrm{~m}, \eta=65 \%\right)
Velocidade da bomba: n=1750\\ \mathrm{rpm} (será usada depois, se preciso).
Coeficiente de Hazen–Williams em 1947: C=130.
Coeficiente de Hazen–Williams atual: C=80.
Tabela da curva da bomba (você forneceu): vazões Q em \mathrm{m^3/h}, alturas H em \mathrm{m} e eficiências \eta em \%:
\,Q=20\Rightarrow H=50,\\ \eta=40\%.
\,Q=40\Rightarrow H=48,\\ \eta=50\%.
\,Q=60\Rightarrow H=46,\\ \eta=60\%.
\,Q=80\Rightarrow H=42{,}5,\\ \eta=70\%.
\,Q=100\Rightarrow H=36{,}5,\\ \eta=80\%.
\,Q=120\Rightarrow H=28,\\ \eta=70\%.
O que o enunciado pede:
Encontrar a equação característica da bomba (curva H_{\text{bomba}}(Q)).
Encontrar a(s) equação(ões) característica(s) do sistema hidráulico (curva do sistema) para 1947 e para hoje (isto é, H_{\text{sis}}(Q)=H_{\text{geom}}+h_f(Q) com perdas por atrito calculadas por Hazen–Williams).
Determinar o ponto de funcionamento (interseção bomba × sistema) em cada caso: Q, H e \eta.
Sugerir o que fazer, usando a mesma bomba, para recuperar a vazão que existia em 1947.
Observação: a resolução a seguir mostra como obter as equações, como montar a expressão das perdas pela fórmula de Hazen–Williams no SI (com conversão de unidades), como resolver numericamente a interseção e como estimar a eficiência no ponto de operação.
Passo 2
Achar uma equação contínua para a curva da bomba (fácil e prática em provas): ajustamos um polinômio quadrático do tipo
H_{\text{bomba}}(Q)=aQ^{2}+bQ+c,
em que [Q) está em \mathrm{m^3/h} (mantemos as mesmas unidades da tabela para facilitar a interseção direta). Escolhi ajustar o polinômio por três pontos representativos da tabela (pode-se usar ajuste por mínimos quadrados com todos os pontos, mas três pontos bastam para um quadrático). Usei os pontos (Q,H)=(20,50),(80,42{,}5),(120,28).
Comentário didático rápido: a curva de uma bomba centrífuga costuma ser aproximadamente quadrática (a queda de cabeça cresce com o quadrado da vazão), por isso o ajuste quadrático é natural e prático em provas.]
Passo 3
Agora a curva do sistema. Usamos a fórmula de Hazen–Williams no SI para perda de carga por atrito em conduta lisa/roscas:
Isto facilita a resolução porque a dependência em Q fica numa potência única. Agora calculo K numericamente com os dados L=684\\ \mathrm{m} e D=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Cálculo numérico (passo a passo):
Primeiro calculei 10{,}67\cdot L=10{,}67\cdot684=7298{,}28.
Para D^{4{,}87} com D=0{,}15\\ \mathrm{m}: D^{4{,}87}\approx 9{,}67\times10^{-5}.
Para 3600^{1{,}852} obtemos um número da ordem de 3{,}86\times10^{6}.
Para C^{1{,}852} temos dois casos:
se C=130: C^{1{,}852}\approx 8{,}2\times10^{3}.
se C=80: C^{1{,}852}\approx 3{,}33\times10^{3}.
Agora calculo K em cada caso (apenas números finais arredondados com 3 casas significativas úteis):
Para C=130 (1947):K_{130}\approx 0{,}00238.
Para C=80 (atual):K_{80}\approx 0{,}00585.
Portanto as curvas do sistema (somando a altura geométrica) são:
novamente com Q em \mathrm{m^3/h} e H em \mathrm{m}.
Observação didática: a potência 1{,}852 vem da formulação empírica de Hazen–Williams; por isso a curva do sistema não é quadrática exata, é uma curva subquadrática próxima do comportamento real. O termo fixo 30\\ \mathrm{m} é a diferença de nível geométrica — não depende de Q.
Passo 4
Encontrar os pontos de funcionamento = interseção entre H_{\text{bomba}}(Q) e H_{\text{sis}}(Q). Temos que resolver numericamente para cada caso:
H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sis}}(Q).
Vou fazer a solução por avaliação e interpolação (método simples e robusto em prova). Apresento os passos de cálculo numérico e as avaliações.
Caso 1947 (C=130):
Equação a resolver:-0{,}002375Q^{2}+0{,}1125Q+48{,}7 = 30 + 0{,}00238\,Q^{1{,}852}.
Teste em Q=89\\ \mathrm{m^3/h} (chute razoável pela tabela):
As duas alturas são muito próximas (diferença pequena, \sim0{,}2\\ \mathrm{m}), portanto o ponto de operação fica em torno deQ_{\text{1947}}\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h},\qquad H_{\text{op,1947}}\approx 39{,}9\\ \mathrm{m}.
Fiz uma pequena interpolação entre valores vizinhos para reduzir erro numérico e obtive essencialmente H\approx 40\\ \mathrm{m}.
Caso atual (C=80):
Equação a resolver:-0{,}002375Q^{2}+0{,}1125Q+48{,}7 = 30 + 0{,}00585\,Q^{1{,}852}.
Testes rápidos:
Em Q=68: H_{\text{bomba}}(68)\approx45{,}37\\ \mathrm{m}, H_{\text{sis,hoje}}(68)\approx44{,}5\\ \mathrm{m} (bomba acima do sistema).
Em Q=70: H_{\text{bomba}}(70)\approx44{,}94\\ \mathrm{m}, H_{\text{sis,hoje}}(70)\approx45{,}33\\ \mathrm{m} (sistema acima da bomba).
Logo a interseção está entre 68 e 70. Fazendo interpolação linear simples entre os pontos testados (ou avaliando em Q=69{,}5), obtém-se:Q_{\text{hoje}}\approx 69{,}5\\ \mathrm{m^3/h},\qquad H_{\text{op,hoje}}\approx45{,}04\\ \mathrm{m}.
Comentário: dependendo de pequenas diferenças nas constantes (arredondamentos, uso de todos os pontos para ajuste da curva da bomba, etc.), obtém-se Q_{\text{hoje}} entre cerca de 68 e 70\\ \mathrm{m^3/h} e H_{\text{op,hoje}} próximo de 45\\ \mathrm{m}. Isso conecta bem com os valores dados no enunciado-sugestão.
Passo 5
Cálculo da eficiência \eta no ponto de operação. A tabela dá \eta em pontos discretos. A maneira prática em prova é interpolar linearmente entre dois pontos de tabela vizinhos ao Q de operação.
Para Q_{\text{1947}}\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h}: está entre Q=80 (\eta=70\%) e Q=100 (\eta=80\%). Interpolação linear:
Por arredondamento prático, isto dá \eta\approx75\%. (Se usar outro ajuste polinomial da curva de eficiência obtém-se valor ligeiramente diferente; o enunciado sugere \eta\approx76\%.)
Para Q_{\text{hoje}}\approx69{,}5\\ \mathrm{m^3/h}: está entre Q=60 (\eta=60\%) e Q=80 (\eta=70\%). Interpolação linear:
Arredondando: \eta\approx65\%, que coincide com o valor sugerido no enunciado.
Resumo numérico (valores que retive como resultados práticos):
Em 1947 (com C=130): Q\approx 89{,}0\\ \mathrm{m^3/h}, H\approx 39{,}9\\ \mathrm{m}, \eta\approx 74{,}5\% (arredondar para 75\%–76\% conforme ajuste).
Hoje (com C=80): Q\approx 69{,}5\\ \mathrm{m^3/h}, H\approx45{,}0\\ \mathrm{m}, \eta\approx64{,}8\% (arredondar para 65\%).
Passo 6
Interpretação física e sugestão: o que pode ser feito para, usando a mesma bomba, recalcadar a vazão de 1947?
Opções práticas (explicadas; em prova cite as mais relevantes):
Reabilitar/substituir a tubulação para reduzir a rugosidade (aumentar C de 80 para valores próximos de 130). Se C voltar a 130, a curva do sistema volta à original e a vazão recupera-se (é a solução “corrigir o sistema”).
Aumentar o diâmetro efetivo (substituir por tubulação maior ou instalar um trecho paralelo). Perdas h_f caem fortemente com D^{4{,}87} — portanto aumentar D é muito eficiente para reduzir perdas.
Aumentar a rotação da bomba (usar um inversor de frequência / trocar a polia), pois por leis de afinidade:Q\propto n,\qquad H\propto n^{2}.Para recuperar Q_{\text{1947}} mantendo o mesmo tipo de bomba, calcularia n' = n\frac{Q_{\text{desejada}}}{Q_{\text{atual}}}. Com nossos números:n' \approx 1750\\ \mathrm{rpm}\cdot \dfrac{89}{69{,}5}\approx 1750\cdot1{,}28\approx2240\\ \mathrm{rpm}.Ou seja, seria necessário aumentar a rotação para cerca de 2{,}240\\ \mathrm{rpm} (se possível e seguro para a bomba). Isso aumenta também a potência requerida (cerca de (n'/n)^3 vezes a potência), então verificar motor e estrutura.
Outra opção: instalar uma bomba em paralelo (ou seja, duas bombas iguais em paralelo) para aumentar a vazão sem aumentar rotações — porém isto implica investimento em equipamentos.
Em resumo prático: a ação mais direta e duradoura é reduzir as perdas da tubulação (reabilitar/substituir a rede ou aumentar diâmetro). A solução por aumento de velocidade é tecnicamente possível (inversor), mas requer checar limites mecânicos e potência do motor.