( 30 pontos) Calcule o que se pede e justifique cada passo:
Transformada inversa de G(s)=\frac{e^{-2 s}}{s^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa da função G(s)=\dfrac{e^{-2s}}{s^{2}}.
Dados importantes:
A função no domínio de s é G(s)=\dfrac{e^{-2s}}{s^{2}}.
O objetivo é encontrar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, a função no domínio do tempo t.
Não resolvemos ainda; só identificamos que há um fator exponencial e^{-2s} multiplicando 1/s^{2}, o que costuma indicar um atraso (deslocamento no tempo) na transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, lembrando a definição da transformada de Laplace e da sua inversa de forma prática:
onde s é a variável complexa (ou real, quando consideramos convergência) e t\ge0 é o tempo.
A transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) é a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
Aqui vamos usar propriedades padrão em vez de aplicar a integral inversa de Bromwich diretamente, porque existem teoremas que tornam o trabalho mais simples.
Passo 3
Identificar a transformada correspondente a 1/s^{2}. Conhecimento útil:
Sabe-se (ou podemos calcular) que a transformada de Laplace da função t é \dfrac{1}{s^{2}}. Vou mostrar isso rapidamente por integração por partes para você ver de onde vem.
Calcule \mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t\,dt. Use integração por partes escolhendo:
u=t e dv=e^{-s t}\,dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes:
Já vimos que \dfrac{1}{s^{2}} é a transformada de \,t, ou seja F(s)=1/s^{2} corresponde a f(t)=t.
Temos G(s)=e^{-2s}\cdot \dfrac{1}{s^{2}}. Comparando com a forma e^{-a s}F(s), aqui a=2 e F(s)=1/s^{2}. Pelo teorema do deslocamento no tempo, a função no domínio do tempo cuja transformada é G(s) é
g(t)=f(t-2)\,u(t-2),
onde f(t)=t. Substituindo f,
g(t)=(t-2)\,u(t-2).
Passo 6
Para fechar com uma verificação direta (opcional, mas bom para fixar): calcule a transformada de Laplace de g(t)=(t-2)u(t-2) e veja que recupera G(s).